parece fácil establecer problema

Question

vamos a a B C tres conjunto finito, probar que: $$|A\cap B|/|A \cup B| + |B\cap C|/|B \cup C| - |A\cap C|/|A \cup C| \le 1$$

Parece simple, pero he intentado por mucho tiempo y no puede salir. Tal vez puedo usar algunos métodos de optimización para el cálculo, pero eso no es lo que quiero...

Answer 1

Deje $|A|= a,\quad |B|= b,\quad |C|= c \quad$

$0 \le |A \cap B|=n_1 \le a$ o $b$ $\quad $ Y $\quad $ $a$ o $b \le |A \cup B|=u_1 \le a+b $

$\implies n_1 \le u_1$

$0 \le |B \cap C|=n_2 \le b$ o $c$ $\quad $ Y $\quad $ $b$ o $c \le |B \cup C|=u_2 \le b+c$

$\implies n_2 \le u_2$

$0 \le |A \cap C|=n_3 \le a$ o $c$ $\quad $ Y $\quad $ $a$ o $c \le |A \cup C|=u_3 \le a+c$

$\implies n_3 \le u_3$

Así tenemos

$\frac{n_1}{u_1} + \frac{n_2}{u_2} - \frac{n_3}{u_3} = \frac{n_1u_2u_3 + u_1n_2u_3 - u_1u_2n_3}{u_1u_2u_3}$

Caso 1: Si $n_i = u_i \quad \forall 1 \le i \le 3$, luego

$\frac{u_1u_2u_3 + u_1u_2u_3 - u_1u_2u_3}{u_1u_2u_3} = 1$

Caso 2: Si $n_i < u_i \quad \forall 1 \le i \le 3$, luego

$\frac{n_1u_2u_3 + u_1n_2u_3 - u_1u_2n_3}{u_1u_2u_3} < \frac{u_1u_2u_3 + u_1u_2u_3 - u_1u_2u_3}{u_1u_2u_3}$

$\frac{n_1u_2u_3 + u_1n_2u_3 - u_1u_2n_3}{u_1u_2u_3} < 1$