Cómo demostrar que existe una $B$ tal que $A=B^2$

Question

Si la matriz $A$ es tal que $A+A^T$ es una matriz definida positiva, demuestre que existe una $B$ tal que $A=B^2$ , donde $B+B^T$ es una matriz definida positiva.

Mi intento: ya que $A+A^T$ es una matriz positiva, entonces existe $Q$ tal $$Q^{-1}(A+A^T)Q=diag(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$$ donde $a_{i}>0$ , $i=1,2,\cdots,n$ Entonces no puedo. Gracias.

Answer 1

Como se señala en el comentario de String, basta con demostrar que la propiedad reclamada en el enlace de Wolfram, es decir, una matriz real $A$ es positiva definida si y sólo si la parte simétrica $S=\frac{A+A^T}{2}$ es positiva definida.

Tenemos para cualquier vector $X$ ,

$$ (SX|X)=\frac{1}{2}.\bigg( (AX|X)+(A^TX|X)\bigg)= \frac{1}{2}.\bigg( (AX|X)+(X|AX)\bigg)=(AX|X) $$

para que la equivalencia sea clara.