Qué grupos tienen precisamente dos automorfismos

Question

Qué grupos $G$ tienen precisamente dos automorfismos, es decir, precisamente un automorfismo no trivial?

Ejemplos: $G= C_3, \mathbf{Z},\ldots$ .

Creo que $G$ tiene que ser abeliano. De hecho, tenemos $ \vert G\vert \geq 3$ . Por lo tanto, si $G$ no es abeliano, tenemos al menos dos automorfismos internos no triviales.

Si podemos demostrar que $G$ es cíclico los ejemplos anteriores son todos ellos.

Answer 1

He aquí una cita de Thomas A. Fournelle de su artículo "Elementary Abelian p-groups as Automorphism Groups of Infinite Groups. I" Math. Z. 167,259-270 (1979).

"Por otra parte, parece que hay pocas esperanzas de obtener una clasificación útil de los grupos cuyos grupos de automorfismo son finitos, incluso en el caso abeliano. En efecto, varios autores han demostrado que los grupos abelianos sin torsión con un solo automorfismo no trivial -la involución $x \mapsto x^{-1}$ - son relativamente comunes (de Groot [5], Fuchs [4], Corner [3])".

Los documentos a los que se refiere son

3. Corner, A.L.S.: Endomorphism algebras of large modules with distinguished submodules. J. Algebra 11, 155-185 (1969)
4. Fuchs, L.: La existencia de grupos abelianos indecomponibles de potencia arbitraria. Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 10, 453-457 (1959)
5. de Groot, J.: Indecomposable abelian groups. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. A 60 = Indag. Math. 19 (1957), 137-145.

pero no he podido encontrar enlaces en línea.

Answer 2

J.T. Hallett y K.A. Hirsch, La construcción de grupos con grupos de automorfismo prescritos Journal of Pure and Applied Mathematics 239-240 (1969), 32-46, está disponible. aquí a través del lector en línea o como un PDF de 1,5 MB. En §1 dicen que se sabe que el automorfismo de un grupo abeliano sin torsión $G$ de rango $1$ es cíclico de orden $2$ si el tipo 1 de $G$ no contiene un componente $\infty$ y dan su 'Standard Beispiel' de un grupo abeliano libre de torsión de rango $1$ cuyo grupo de automorfismo es cíclico de orden $2$ como

$$G=\langle f,c_i,i=1,2,\dots||\;p_ic_i=f\,\rangle\;,$$

donde $\{p_i:i\in\mathbb{Z}^+\}$ es un conjunto infinito de primos distintos. (Las relaciones que hacen $G$ Abeliano se omiten). Refiriéndose a los artículos de Fuchs y Corner enumerados en la respuesta de jspecter, señalan que la literatura contiene una gran cantidad de ejemplos de todos los rangos hasta el primer cardinal fuertemente inaccesible.

1 La introducción a este documento ofrece una definición autocontenida de tipo suficiente para entender la afirmación anterior.