Un novato a la Adams espectral de la secuencia, estoy intentando seguir un cálculo en McCleary del libro en el mod 3 Adams espectral de la secuencia de $\pi_*(S)$. Por parte de una resolución mínima de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ sobre el mod 3 álgebra de Steenrod, calculamos el $Ext^{s, t}_A(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ $t \leq 11$ y todos los $s$. McCleary afirma que hay una falta de diferenciales de aquí, pero no veo por qué no. Si nos encargamos de la secuencia espectral con $t-s$ aumento de la horizontal a la derecha y $s$ el aumento verticalmente, a continuación, $d_r$ va a la izquierda un espacio y hasta $r$ espacios. En el $t-s=3$ columna, para $s \leq 3$ sólo hay un generador de grado de la $s=2$ y no hay nada en el $s \leq 3$ $t-s=2$ columna. Pero hasta donde yo sé, no podría ser trivial cosas en el $t-s=2$ columna lo suficientemente grande como $s$ para los que no sé $Ext^{s, t}$$t=s+2$. Así que es concebible, no hay espacio para los diferenciales de aquí (de t-s=3, s=2 para algo en el $t-s=2$ columna). ¿Por qué McCleary a la conclusión de que no hay ninguna, o ¿qué estoy malentendido aquí? Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a publicar más o menos lo que escribí en los comentarios de arriba y tal vez alguien me puede decir si esto es correcto.
Me escribió que sabemos que la resolución de $t \leq 11$ y todos los $s$, pero algo más fuerte que es verdad. En el $s$th etapa de la resolución, tenemos un generador de $a_s$ grado $s$, lo que en última instancia proviene de la Bockstein $\beta$, e $d(\beta a_s)=0$, por lo que ponemos un generador en el $(s+1)$ etapa de la resolución de grado de la $s+1$ a un mapa de a $\beta a_s$. Ningún otro producto de un elemento de la álgebra de Steenrod (que no es el ideal generado por a $\beta$) y $a_s$ mapa a cero, de modo que todas las otras cosas en la $s$ etapa que se asignan a cero debe contener, al menos, otro generador. Pero en la 3ª etapa de la resolución, el primer generador no relacionados con el Bockstein es en el grado 13. Para encontrar algo en los términos de este generador que se asigna a cero, tenemos que multiplicar por algo en el álgebra de Steenrod, por lo que el primer no-Bockstein generador en la 4ª etapa que aparece en grado mayor o igual a 14. Continuando de esta manera, el primer no-Bockstein generador en el $s+3$ etapa no se producirá hasta el grado al menos $13+s$, y debajo de eso, el único generador de es $a_{s+3}$. Así sabemos que la resolución de $t-s< 13+s-(s+3)=10$. Cuando nos fijamos en la $E_2$ página de la Adams espectral de la secuencia, esto significa que sabemos que el primer 9 columnas, y desde diferentials ir uno a la izquierda y $r$ unidades hacia arriba, desde nuestros cálculos vemos que no existen diferencias en esta parte de la secuencia espectral.
