Prueba: Si $f'=0$ $f$ es constante

Question

Estoy tratando de demostrar que si $f'=0$ $f$ es constante SIN necesidad de utilizar el Valor medio Teorema.

Mi intento de [sketch de prueba]: Suponga que el $f$ no es constante. Identificar el intervalo de $I_1$ tal que $f$ no es constante. Identificar las $I_2$ dentro $I_1$ tal que $f$ no es constante. Repita este y por el Anidado de Intervalos Principio, hay un punto de $c$ dentro $I_n$ cualquier $n$ tal que $f(c)$ no es constante... aquí es donde me di cuenta de que mi enfoque podría estar equivocado. Incluso si no está no sé cómo proceder.

Gracias por leer y cualquier ayuda/sugerencias/correcciones se agradece.

Answer 1

Así que tenemos que demostrar que $f'(x)\equiv0$ $\ (a\leq x\leq b)$ implica $f(b)=f(a)$, sin necesidad de utilizar el MVT o el teorema fundamental del cálculo.

Se asume que un $\epsilon>0$ es dado de una vez por todas. Como $f'(x)\equiv0$, para cada uno de ellos fijo $x\in I:=[a,b]$ hay un barrio $U_\delta(x)$ tal que $$\Biggl|{f(y)-f(x)\over y-x}\Biggr|\leq\epsilon\qquad\bigl(y\in\dot U_\delta(x)\bigr)$$ ($\delta$ depende de $x$). Para cada una de las $x\in I\ $ puesto $U'(x):=U_{\delta/3}(x)$. A continuación, la colección de $\bigl(U'(x)\bigr)_{x\in I}$ es una cubierta de $I$. Desde $I$ es compacto, existe un número finito de subcovering, y podemos asumir que hay una secuencia finita $(x_n)_{0\leq n\leq N}$ con $$a=x_0<x_1<\ldots< x_{N-1}<x_N=b$$ tal que $I\subset\bigcup_{n=0}^N\ U'(x_n)$. El $\delta/3$-trick garantiza que $$|f(x_n)-f(x_{n-1})|\leq \epsilon(x_n-x_{n-1}).$$ By summing up we therefore obtain the estimate $|f(b)-f(a)|\leq \epsilon(b-a)$, and as $\epsilon>0$ was arbitrary it follows that $f(b)=f(a)$.

Answer 2

¿La línea real que tiene lagunas? Ese es el problema. Suponga que usted puede partición de la línea en los dos conjuntos de $A$$B$, por lo que

• Cada número real pertenece a la $A$ o $B$;
• No hay ningún número pertenece a los dos;
• Cada miembro de $A$ es menos que cada miembro de $B$;
• Para todos los miembros de $A$, hay un mayor número que todavía es un miembro de $A$;
• Para todos los miembros de $B$, no es un número pequeño, que todavía es un miembro de $B$.

En ese caso, no habría ningún límite de punto, de tal forma que cada número menor que el punto está en la $A$ y cada número mayor que el que está en $B$. Que sería una brecha.

Ahora supongamos $f(x) = 0$ si $x\in A$ $f(x)=1$ si $x\in B$. A continuación, $f\;'(x)=0$ para cada valor de $x$, pero $f$ no es constante.

No se puede probar cada función cuya derivada es en todas partes $0$ es constante a menos que descartar las lagunas. La prueba de la media del teorema del valor convencionalmente se basa en el teorema de Rolle, que a su vez se basa en el hecho de que una función continua en un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo en ese intervalo. Ese teorema no es cierto a menos que la línea real es sin pausas. Una función continua podría aumentar en el set $A$ descrito anteriormente y la disminución en $B$, y no tendría ningún máximo.

El valor de la media es el teorema de cómo la gaplessness de la línea se mete en la prueba de que si $f\;'=0$ en todas partes, a continuación, $f$ es constante.

Probablemente usted podría encontrar otras maneras de demostrar que, pero que tendría que invocar gaplessness de alguna manera.

Answer 3

Dependiendo de cuánto tecnología que se va a utilizar, quizás podría usar el hecho de que $H^0_{\text{dR}}(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{R}$. (Esto se deduce de la $\mathbb{R}^n$ homotopy equivalente a un punto) por lo tanto cualquier cerró $0$-forma (por lo que cualquier función suave de la función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$df=0$) es constante.

Creo que todo esto no utilizar el Valor medio Teorema, pero supongo que es un poco excesivo...