La longitud de la diagonal principal de un n-dimensional del cubo

Question

Encontrar la longitud de una diagonal principal de un n-dimensional del cubo, por ejemplo la de $(0,0,...,0)$ $(R,R,...,R)$

He intentado utilizar la inducción para demostrar que su $\sqrt{n}R$, pero estoy atascado en la escritura de la prueba de que para un n-dimensional del cubo, el perpendiculares que con esa diagonal principal componen el ángulo recto del triángulo son los de la diagonal principal de la n-1 dimensiones del cubo y otro R-longitud-ed perpendicular

Gracias

Answer 1

Simple derivación:

Desde mi perspectiva ingenua, usted está buscando para una distancia entre puntos de $(0,0,\dots,0)$$(R,R,\dots,R)$. Puesto que usted está en $n$-dimensional en el espacio Euclidiano, su separación es $\sqrt{(R-0)^2 + \dots + (R-0)^2} = \sqrt{n} R$. Sería eso suficiente?

Mirando geométricamente, si la longitud de $(n-1)$ dimensiones es $l_{n-1}$, puede utilizar el hecho de que, desde la $n^{th}$ dirección es perpendicular a cualquier dirección en el $(n-1)$ dimensiones subespacio, Pitágoras, además de las distancias de los sostiene y los $l_n = \sqrt{l_{n-1}^2 + R^2}.$ a partir de $l_1 = R$, consigue $l_n = \sqrt{n} R$ por inducción.

Más detallada de derivación utilizando la geometría diferencial:

Para hacer más explícita, se puede utilizar la métrica de $n$-dimensional espacio Euclidiano $g_{ab} = \delta_{ab}$$a,b \in [1,2,\dots,n]$. La "distancia" $s$ se define como $$(\mathrm{d} s)^2 = \sum_{a,b} g_{ab} \mathrm{d}x^a \mathrm{d}x^b \, ,$$ en general. Vamos a tener una curva de $x^a = x^a(t)$ parametrizada por $t$. Entonces $$\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = \sqrt{\sum_{a,b} g_{ab} \frac{\mathrm{d}x^a}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}x^b}{\mathrm{d}t}} = \sqrt{\sum_a \left ( \frac{\mathrm{d}x^a}{\mathrm{d}t} \right ) ^2 } \, .$$ La diagonal que va desde $(0,0,\dots,0)$ $(R,R,\dots,R)$puede ser descrita por la curva de $x^a(t) = Rt$$t \in [0,1]$. La longitud total de la curva es $$s = \int_0^1 \mathrm{d} = \sqrt{\sum_a \left ( \frac{\mathrm{d}x^a}{\mathrm{d}t} \right ) ^2 } \mathrm{d}t = \int_0^1 \sqrt{\sum_a \left ( R \right ) ^2 } \mathrm{d}t = \int_0^1 \sqrt{n} R \mathrm{d} t = \sqrt{n} R \, .$$ Por lo tanto, la longitud de la diagonal en $n$ dimensiones es $\sqrt{n} R$.

Answer 2

Creo que esto es básicamente lo que he estado tratando de hacer, pero aquí tenemos una foto de una serie de ángulo recto, triángulos, cada uno de ellos construido utilizando la hipotenusa del triángulo anterior y un lado de longitud $R$ como las piernas. El triángulo rojo de la hipotenusa es la diagonal de un cuadrado, el triángulo verde de la hipotenusa es la diagonal de un cubo, y el triángulo azul de la hipotenusa es que la diagonal de la 4-cubo.

La única cosa que tenemos que probar es que el elegido diagonal es perpendicular a la arista en cada paso. Esencialmente, esto es debido a que, para extender el cubo de una dimensión superior, se añade un nuevo lateral, perpendicular a todos los otros lados. Una consecuencia de esto es que cualquier línea que se traza en el espacio del cubo original es perpendicular a las aristas nuevas - por ejemplo, cualquier línea dibujada en la cara inferior de un cubo es perpendicular a los bordes de conexión que se enfrentan a la cara superior.

Esto es más que simplemente una consecuencia de vectores: El conjunto de vectores perpendiculares a una dada uno de ellos es un subespacio lineal. Desde la diagonal de un cubo es en el lapso de los bordes del cubo y a todos aquellos que son perpendiculares a la ventaja de nuevo, nos encontramos con que la diagonal es perpendicular a la ventaja de nuevo. Básicamente, la ampliación de un cubo es la adición de un nuevo vector perpendicular a todo lo que ya teníamos.

Uno podría el estado de esta propiedad (lo suficientemente bien para nuestros propósitos), sin tener que recurrir a vectores, como diciendo:

Si $AB$ $BC$ son perpendiculares a$ED$, $AC$ es perpendicular a $ED$.

que se podría probar usando la ley de los cosenos. Entonces, en nuestro caso, podemos aplicar ese $AB$ $BC$ son perpendiculares a$ED$, por definición, de un cubo, por lo tanto así es $AC$. Luego, de nuevo $CD$ es perpendicular a $ED$ y nos demostró $AC$, lo que significa $AD$ es perpendicular a $ED$, lo que nos da el resultado que queríamos.