Función que toma cada valor uncountably a menudo

Question

Existe una función tal que para todos los $y\in \mathbb{R}$ existen una cantidad no numerable de $x\in\mathbb{R}$$f(x)=y$?

Una función para la que countably muchos $x$ existe es, por ejemplo,$\tan$, pero no veo cómo llevar esto un paso más allá. Por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Deje $\phi:\mathbb R\to\mathbb R^2$ un surjective función - por ejemplo, un adecuado (continua) respecto de una curva de Peano. Si definimos $$\pi_x:\mathbb R^2\to \mathbb R\\(x,y)\mapsto x$$ then $\pi_x\circ\phi$ es lo que quieres.

En Peano y Hilbert curvas: la curva de Peano y la curva de Hilbert son ejemplos de surjective y continua de los mapas de $\gamma:[0,1]\to [0,1]\times [0,1]$. Se construye a través de un paso a paso de aproximación que la animación en la Wikipedia lo explica mejor de lo que yo podría hacerlo.

Un hecho importante para la notificación para el propósito de este problema es que, si tomamos por ejemplo $\gamma$ a ser la curva de Hilbert, $\gamma(0)=(0,0)$$\gamma(1)=(0,1)$. Lo que significa: la curva comienza en una esquina de la plaza, llena toda la $[0,1]\times[0,1]$ y termina en la otra esquina de la plaza. Todo esto $0\le t\le 1$. Así que en realidad puede tener una segunda curva de Hilbert de inicio en$(0,1)$$t=1$, llenar toda la plaza $[0,1]\times[1,2]$ y llegan a $(0,2)$ $t=2$ y así sucesivamente. En cada paso se preserva la continuidad. Si repetimos esta construcción countably muchas veces (tal vez, con un poco de rotación o simetría) podemos cubrir todo el plano con la imagen de una función continua cuyo dominio es $\mathbb R$.

Si nosotros no requieren continuidad: Dado cualquier conjunto infinito $X$, la existencia de un bijective función de $f:X\to X\times X$ es un conjunto teórico-hecho de que se basa en el Axioma de Elección.

El punto de mi argumento: Proporciona un surjective función de $\phi:\mathbb R\to\mathbb R^2$, para cada una de las $y$ hay uncountably ($2^{\aleph_0}$, para ser exactos) y muchos $z\in\mathbb R$ tal que $\pi_x\circ \phi(z)=y$. De hecho, son todos los elementos de a $\phi^{-1}\left(\{x\}\times \mathbb R\right)$. Pero $\phi$ es surjective, por lo tanto $$\left\vert\phi^{-1}\left(\{x\}\times \mathbb R\right)\right\vert\ge\left\vert\{x\}\times\mathbb R\right\vert=|\mathbb R|$$

Answer 2

Esto funciona, pero no tiene el sabor de análisis. Queremos asociar a cada número real $y$ en el dominio de $f$ con un número incontable de los números reales, la $x$ valores por los que $f(x)=y$. Algo más que asocia a cada una de las $y \in \mathbb{R}$ con una copia de $\mathbb{R}$... $\mathbb{R}^2$!

Deje $h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ ser un bijection, por ejemplo, este. Deje $g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto y$. A continuación, $f(x) = g(h(x))$ cumple con sus requisitos: $h$ toma cada una de las $x \in \mathbb{R}$, la asigna a un punto intermedio $(x', y') \in \mathbb{R}^2$, $g$ descarta $x'$ y sale a $y'$. Cada una de las posibles $(x',y')$ se produce por alguna $x$, de modo que cada una de las $y' \in \mathbb{R}$ salga un número incontable de $x$ valores.

Answer 3

Si $\mu$ es un singular medida continua (por ejemplo, tomar la medida de haar sobre el conjunto de cantor en la unidad de intervalo), a continuación, $f(z)=\int \frac{d\mu (\lambda )}{\lambda -z}$ es analítica en la mitad superior del plano y su límite como $z = x+i\epsilon$ va a x define una función medible en $\mathbb{R}$. Esta función puede tomar cualquier valor y uncountably a menudo en cualquier finito sub-intervalo de $\mathbb{R}$. Buscar documentos por D. B. Pearson valor de la distribución para más detalles.