¿Cuál es la raíz lineal coeficiente teorema?

Question

MathWorld da la raíz lineal coeficiente teorema como

La suma de los recíprocos de las raíces de una ecuación es igual al negativo del coeficiente del término lineal en la serie de Maclaurin.

El teorema me parece que para ser falso, como se indica. Por ejemplo, la ecuación de $e^x = 0$ no tiene raíces, sin embargo, (tomando la serie de Maclaurin de $e^x$) la raíz lineal coeficiente teorema afirma que la suma de los recíprocos de estos inexistente raíces serían $-1$.

Es MathWorld faltan algunas hipótesis? O es que hay algo que está sucediendo en el plano complejo que no soy consciente? El MathWorld entrada también se dice para ver Vieta fórmulas, pero esas son para los polinomios y no la serie de Maclaurin.

La única información que pude encontrar a partir de una búsqueda en Google de "raíz lineal coeficiente teorema" fue esta declaración (de Robert Israel de la UBC):

Esto no funcionará en general para los no-polinomios (por ejemplo, intente por $p(x) exp(x)$. Para una función racional tal que $0$ es ni raíz ni un poste, usted quiere tomar la suma de los recíprocos de las raíces, menos el suma de los recíprocos de los polos (de nuevo contando multiplicidad).

O. K., entonces no hay trabajo para los no-polinomios y de funciones racionales usted tiene que incluir los polos.

Pero entonces, ¿por qué MathWorld aplicación a $\sin z/z$ en esta "prueba" de que el $\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2/6$? (Inicio cerca de eq. (18).)

El valor de $\zeta(2)$ también se puede encontrar simplemente el uso de la raíz lineal coeficiente de teorema. Considere la ecuación de $\sin z=0$ y expandir $\sin$ en una serie de Maclaurin $$\sin z = z- \frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+ \ldots =0$$ $$0 = 1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}+ \ldots$$ $$ = 1-\frac{w}{3!}+\frac{w^2}{5!}+ \ldots,$$
donde $w=z^2$. Pero los ceros de $\sin z$ ocurren en $z=\pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$ o $w=\pi^2, (2\pi)^2, \ldots$. Por lo tanto, la suma de los [recíprocos de las raíces es igual a la [negativo] el coeficiente de la líder plazo $$\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{(2\pi)^2}+\frac{1}{(3\pi)^2}+ \ldots =\frac{1}{3!}=\frac{1}{6},$$
que puede ser reorganizado para producir $$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}.$$

(Aquí es donde me encontré con la raíz lineal coeficiente de teorema en el primer lugar.)

Podría alguien aclararme con respecto a estas preguntas:

1. Es MathWorld mal?

2. Me estoy perdiendo algo aquí?

3. ¿Cuál es la afirmación correcta de la raíz lineal coeficiente teorema?

Answer 1

Raíz lineal coeficiente teorema sólo es cierto para polinomios. De ello se deduce trivialmente a partir de las fórmulas de Vieta. Ahora vamos nosotros nunca menciono de nuevo.

El Mathworld la prueba que mencionas tiene un enorme agujero. Es decir, como se menciona en el comentario de Fabian, usted necesita saber que el producto de la expansión (y entonces usted está OK, comparar doefficient de z²) $$\sin(\pi z)=\pi z \prod_{n=1}^\infty (1-\frac{z^2}{n^2}).$$

Esta identidad no es evidente, pero es de rutina, una vez que usted sabe lo suficiente de análisis complejo. Aquí es un enfoque (de la palabra clave: "el orden de crecimiento de una función completa" puede darle a usted un teorema para invocar a evitar algunos de este trabajo).

Sea f(z) como el cociente del pecado(nz) por que infinte producto. En primer lugar mostramos f es toda una holomorphic función. A continuación, mostrar que existe toda la g(z) f(z)=exp(g(z)). (se necesita una prueba, como es el registro multivvalued)

Ahora la idea es obligado f(z). Cualquier cota de la forma |f(z)|≤Aexp(C|z|) debe hacer el truco. (para esto, primero mostrando f es periódica es útil, entonces usted sólo tiene que encontrar un enlace para z cerca del eje imaginario.)

Esto le da un límite de la forma de Re(g(z))≤C'|z| para suficientemente grande |z|. Ahora puede usar el siguiente lema que es mejor que el de Louiville del Teorema.

Lema: Si h(z) es entera y Re(h(z))≤C|z|^k suficientemente grande |z|, entonces h es un polinomio de grado en la mayoría de los k.

Prueba: Consideremos la serie de Taylor $$h(z)=\sum_{j=0}^\infty a_je^{i\phi_j}z^j$$, con una_j real no negativo y φ_j real. Vamos a z=r.exp(iθ). Sabemos $$ \sum_{j=0}^\infty a_j r^j cos(\phi_j + j \theta) \leq C r^k$$ r suficientemente grande. Ahora multiplica por (1+cos(φ_m+m&\theta;)), integrar de 0 a 2π y deje r tiende a infinito.

Resultado: Ahora usted sabe que g(z)=A+Bz. Para encontrar Un, conjunto z=0. Para encontrar B, diferenciar y establecer z=0.

Answer 2

Esto es algo entre una respuesta y un comentario:

Creo que la raíz lineal coeficiente teorema sólo tiene para los polinomios (y, posiblemente, puede extenderse a funciones racionales, como se explica en el OP). La prueba es simple (en Robert Israel post y, básicamente, es sólo Vieta de la fórmula). Creo que MathWorld usos de este teorema para obtener el $\zeta(2)$ debido a que esta es la línea argumental que Euler utiliza para resolver el problema de Basilea. Sin embargo, Euler de la prueba no es riguroso (como la raíz lineal coeficiente teorema no se puede aplicar a $\sin(x)/x$ que no es un polinomio).

Así que a las respuestas de tu pregunta:

1. sí

2. no

3. Deje $p(x)$ ser un polinomio a la suma de los recíprocos de las raíces de $p(x)$ es igual al negativo del coeficiente del término lineal en la serie de Maclaurin de $p(x)/p(0)$.