No todos los Krull anillo tiene una altura de 1 primer ideal?

Question

Deje $A$ ser un Krull anillo. De acuerdo con el Teorema 12.3 en Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría, de la familia de las localizaciones de la $A$ en la altura 1 primer ideales de $A$ constituye una definición de la familia de $A$.

Pregunta: ¿por Qué tal la familia? En otras palabras, ¿por qué un Krull anillo de tener al menos una altura de 1 primer ideal?

Nota: Por definición, un Krull anillo es la intersección de los Dvr y cada DVR tiene dimensión 1, de ahí su máximo ideal tiene altura 1. Sin embargo, en el caso de contratar este ideal maximal de a $A$, no es necesario que el primer ideal obtenemos va a tener una altura de 1.

Edit: me di cuenta de que la definición de un Krull anillo que se da en Wikipedia es bastante diferente de la de Matsumura. De hecho, la definición de Wikipedia trivialmente responde a mi pregunta. Matsumura la definición es la siguiente: un integrante de dominio se llama Krull si es la intersección de una familia de DVRs y cada elemento no nulo en el dominio es distinto de cero en sólo un número finito de la correspondiente discretos valoraciones. Cómo conseguir que un anillo contiene una altura de 1 ideal no es obvio para mí.

Answer 1

Cualquier finito-dimensional anillo (de hecho, cualquier anillo con una flor de finito y distinto de cero, la altura) tiene la primera ideales de la altura 1, básicamente, por la definición de la dimensión: si $P$ ha finito altura $n$, hay una máxima en la cadena de $P_0 \subseteq P_1 \subseteq \dotsb \subseteq P_n = P$, e $P_1$ no puede contener más de un primer ideal, ya que de lo contrario podríamos hacer una larga cadena. De hecho, lo hace cualquier Noetherian anillo, ya que satisface la parte descendente de la cadena de condición en el primer ideales.

Si usted está realmente interesado en la no-Noetherian caso, las cosas se ponen confusas, por ejemplo, hay dominios en los que cada valor distinto de cero prime tiene una infinidad de altura. Si $R$ tiene esta propiedad, sin embargo, luego de todas las localizaciones de la $R$ tienen esta propiedad (la de los números primos de la localización de $R$ correspondiente a una baja cerrada subconjunto de los números primos de $R$). En particular, la localización de $R$ puede ser un DVR, desde el Dvr tiene dimensión finita, por lo $R$ no puede ser un Krull anillo, incluso por Matsumura la definición. Esto debe demostrar la equivalencia de las dos definiciones, demasiado.

Answer 2

Su pregunta sea respondida por ejemplo, en Samuels Conferencias sobre Ufd (http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr30.pdf).

La versión corta es: $R$ es un Krull anillo si y sólo si $Div(R)$ (= el semigroup de divisorial de fracciones de ideales, su elemento neutro es el submódulo $R \subseteq Q(R)$) es (como parcialmente ordenado de grupo) isomorfo a través de algunos de iso $\phi$ a una suma directa de $\bigoplus_{i \in I}{\mathbb{Z}}$ equipada con la canónica de orden parcial. Si $R$ es un Krull anillo, pero no a un campo, a continuación, $Div(R) \neq 0$ y los vectores de la base canónica $e_i, i \in I$ formulario de una base positiva (Aquí es la existencia declaración!). Su preimages $\mathfrak{p}_i , i \in I$ bajo $\phi$ formulario de una base positiva de $Div(R)$, y de hecho son, precisamente, el primer ideales de la altura de uno en $R$.