$4$ perros han nacido en un perro de la perrera en la misma semana. ¿Cuál es la probabilidad de que ellos nacieron en días diferentes?
Yo: $$\frac{^7C_4}{7^4}$$
Pero mi libro dice que la solución es: $\frac{120}{7^3}$
¿Qué hice mal?
EDIT: he copiado el problema exactamente como está en mi libro. Si falta información, mal pensado o no tiene ningún sentido, que no es mi culpa. Los errores tipográficos, errores y de baja calidad abundan en estos libros de texto.
El primer perro puede nacer en cualquier día.
El segundo perro tiene probabilidad 6/7 de haber nacido en un día diferente.
El tercer perro tiene probabilidad 5/7 de haber nacido en un día diferente.
El cuarto perro tiene probabilidad de 4/7 de haber nacido en un día diferente.
$$\frac67\cdot\frac57\cdot\frac47 = \frac{120}{7^3}$$
No hay suficiente información para resolver este problema. Si los perros eran de la misma camada que la probabilidad es muy baja, que habían nacido en días diferentes. Normalmente debe ser dado algunas hipótesis, como cada día de la semana es igualmente probable (razonable) y la independencia (irracional - ¿el problema escritor tiene alguna idea de los perros por lo general nacen en camadas?).
En un Bayesiano de sentido el aprendizaje de las cuatro perros nacieron en la misma semana en que se requiere la actualización de la antes de que sus nacimientos no están correlacionados. Dado que la perrera no es tan grande.
En definitiva, lo que es un terrible problema de palabras.
El denominador, $7^4$, los recuentos de las formas de seleccionar un día para cada perro. Así que usted debe hacer lo mismo en el numerador: número de maneras de seleccionar un día por cada perro (aunque, en distintos días).
Contaba maneras de seleccionar los 4 distintos días para los perros a nacer.
Sin embargo, hay $4!$ formas de asignar a los perros para cada uno de estos días.
$$\dfrac{{^7\mathsf C_4}\cdot 4!}{7^4} = \dfrac{7!/3!}{7^4} = \dfrac {120}{7^3}$$
Estás erróneamente dando una orden al usar $7^4$. $7^4$ da el número de $4$-tuplas $(w,x,y,z)$ donde $1\leq w,x,y,z\leq 7$ con cada número que representa un día. Usted obtener porque hay $7$ opciones para cada lugar. Pero en el numerador, usted no tiene ningún pedido - en su lugar, usted está contando el número de subconjuntos (y por definición, los conjuntos se desordenada) de un conjunto $\{1,2...7\}$ con cardinalidad $4$. Como antes, cada número representa un día, pero no eres la asignación de un día para cada perro.
Cada conjunto de $4$ días, por ejemplo,$\{1,2,3,4\}$, que podemos pensar como el domingo, lunes, martes, y miércoles, representa varias asignaciones de días a los perros. El primer perro podría haber nacido en cualquiera de los $4$ días, el segundo perro podría haber nacido en cualquiera de los $3$ días restantes, el tercer perro podría haber nacido en cualquiera de los $2$ restante de días, y el último perro no tiene ninguna opción. Si multiplicamos el número de conjuntos de tamaño $4$$4!=24$, obtenemos todas las permutaciones de días representada por los conjuntos, ya que cada uno ha $24$ permutaciones. Este factor adicional que nos da la respuesta.
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