Principio de incertidumbre de Heisenberg

Question

He oído varias definiciones del principio de incertidumbre .

Sin embargo, no puedo comprender cómo es verdad. Sin embargo, algo me dice, que es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la luz/electrón que da la naturaleza intrínseca de la incertidumbre aunque no la midamos.

¿Es cierto que este principio es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la partícula, que la incertidumbre surge debido al hecho de que la partícula actúa como una onda (no encuentro ninguna respuesta que indique la implicación exacta de las características ondulatorias que deberían dar lugar al principio de incertidumbre)?

¿Será cierto suponer que, si un electrón actúa sólo como una partícula y no como una onda, el principio de incertidumbre no será necesario (esta parte de la pregunta no se plantea en ninguna parte)?

¿Puede decirme sin muchas matemáticas por qué es así?

Como entendimos el efecto fotoeléctrico contradice la naturaleza ondulatoria de la luz,

¿Podría guiarme la explicación intuitiva con la razón formal de por qué no podemos conocer absolutamente de forma simultánea la posición y el momento de una partícula?

Answer 1

Por los comentarios, parece que quieres las mínimas matemáticas posibles. Hay 4 cosas que tienes que saber primero:

En primer lugar, lo que hay que saber es que una función de onda cuántica básica puede imaginarse exactamente como una onda sinusoidal:

En segundo lugar, debe saber que el amplitud de la onda a través de un intervalo está relacionada con la probabilidad de medir la posición dentro de ese intervalo. (Esto es una analogía aproximada de lo que hace una función de densidad de probabilidad).

En tercer lugar, el longitud de onda de la onda está relacionada con la medida de su partícula impulso . (Si queremos ser estrictos, debería ser el frecuencia y también debe ser una probabilidad a lo largo de un intervalo en espacio de frecuencia pero ayuda imaginárselo sólo con una longitud de onda).

En cuarto lugar, se puede componer una función de onda cuántica más complicada simplemente sumando ondas de diferentes longitudes de onda. (Esto se llama superposición, véase este gif):

( Imagen de Wikipedia )

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Ahora que sabes estas cuatro cosas, estamos listos para abordar la idea del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Fíjate en la 4ª cosa que hemos dicho (re: superposición). Echa un vistazo al gif. ¿De qué te das cuenta? Cuando añadimos más y más ondas de diferentes longitudes de onda, empieza a aparecer un pico central prominente.

Ahora recuerda la segunda cosa que dijimos: amplitud está relacionado con posición . Si tenemos un pico con una amplitud prominente, es más probable que la posición de nuestra partícula se mida dentro de ese pico. Cuanto más prominente sea el pico central, más precisa será la predicción de la posición de la partícula.

Sin embargo, para que el pico central sea más prominente, tenemos que ir añadiendo más ondas de diferentes longitudes de onda. ¿Recuerdas la tercera cosa que dijimos? Longitud de onda está relacionado con impulso . Si seguimos añadiendo diferentes longitudes de onda, esperamos un rango mayor para medir nuestro momento, lo que significa que el momento de nuestra partícula no se puede predecir tan fácilmente. Cuantas más ondas de diferentes longitudes de onda añadamos, con menos precisión podremos predecir el momento de la partícula.

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Y ahí reside el meollo del principio de incertidumbre: si se intenta medir la posición con mayor precisión, se medirá el momento con menor precisión, y viceversa .

Así que para responder a su pregunta: Sí, el principio de incertidumbre es una consecuencia necesaria de la "naturaleza ondulatoria de las partículas".

Y para responder a su segunda pregunta (¡gracias por plantearla en los comentarios!): sí, si el electrón fuera una partícula en lugar de un objeto mecánico cuántico, el principio de incertidumbre no sería necesario o al menos no se aplicaría necesariamente. Esto se debe a que los 4 conceptos básicos del principio de incertidumbre son conceptos de onda única especialmente los conceptos segundo y tercero, que son conceptos de función de onda de mecánica cuántica única ninguna de las cuales se aplica a las partículas.

Answer 2

Paréntesis de Lagrange y Poisson: Un paso atrás hacia los reinos clásicos.

Consideremos dos variables $q_i, p_i$ en función de dos parámetros $u,v\,.$ La Soporte de Lagrange viene dado por $$[~u,\, v~] ~= ~ \sum_{i~=~1}^n \left(\frac{\partial q_i}{\partial u}\frac{\partial p_i}{\partial v}- \frac{\partial q_i}{\partial v}\frac{\partial p_i}{\partial u}\right)\,.\tag{I} $$

Ahora, transforma las variables $q_i, p_i$ a $Q_i, P_i$ tal que el soporte de Lagrange en las nuevas variables permanezca invariante. Esto se conoce como transformación canónica .

Supongamos que las variables antiguas se expresan en términos de variables nuevas de forma explícita como:

\begin{align}q_i &= f_i(Q_1,\ldots Q_n; P_1, \ldots, P_n)\\ p_i & = f^{\prime}_i(Q_1,\ldots Q_n; P_1, \ldots, P_n)\end{align}

Cualquier par de $Q_i, Q_k$ o $P_i, P_k$ o $Q_i, P_k$ puede sustituirse por $u,v$ en $\rm (I)$ considerando constantes las demás variables.

Ya que, en el nuevo sistema de coordenadas, $Q_i, P_i$ son independientes entre sí, de $\rm (I)$ obtenemos:

$$[~Q_i, ~Q_k~] = 0;\qquad[~P_i, ~P_k~] = 0;\qquad[~Q_i, ~P_k~] = \delta_{ik}\,. \tag{II}$$

Ahora, considere $u,v$ como funciones de $q_i, p_i$ como:

\begin{align}u &= u(q_1,\ldots q_n; p_1, \ldots, p_n)\\ v & = v(q_1,\ldots q_n; p_1, \ldots, p_n)\end{align}

Entonces el Soporte de Poisson viene dada por

$$(~u,\, v~) ~= ~ \sum_{i~=~1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial q_i}\frac{\partial v}{\partial p_i}- \frac{\partial v}{\partial q_i}\frac{\partial u}{\partial p_i}\right)\,.\tag{III} $$

Podemos tener $u_1, u_2, \ldots, u_{2n}$ expresados en función de $q_i, p_i;$ alternativamente $q_i, p_i$ pueden expresarse como funciones de $u_1,u_2, \ldots, u_{2n}\,.$ Podemos formar el corchete de Poisson para el primer caso, mientras que para el segundo podemos formar el corchete de Lagrange; por tanto, están relacionados entre sí. Si el corchete de Lagrange es invariante de una transformación explícita, entonces también lo es el corchete de Poisson. En transformación canónica deja invariante el corchete de Poisson independientemente de cómo $u,v$ dependen de $q_i, p_i\,.$

Ahora, expresa $Q_i, P_i$ en términos de coordenadas antiguas $q_i, p_i$ como:

\begin{align}Q_i &= F_i(q_1,\ldots q_n; p_1, \ldots, p_n)\\ P_i & = F^{\prime}_i(q_1,\ldots q_n; p_1, \ldots, p_n)\end{align}

Formar el paréntesis de Poisson tanto en las coordenadas nuevas como en las antiguas.

Por la propiedad de invariancia explicada anteriormente,

$$(~Q_i, ~Q_k~) = 0;\qquad(~P_i, ~P_k~) = 0;\qquad(~Q_i, ~P_k~) = \delta_{ik}\,. \tag{IV}$$

Conmutatividad de operadores: Advenimiento de la Mecánica Cuántica.

En QM, los observables se representan mediante operadores (hermitianos). Para un par de operadores $A$ y $B,$ el soporte del colector viene dado por $$[~A,~B~] \equiv AB -BA\tag{V}$$

Mide hasta qué punto los operadores conmutativa entre sí.

Dos observables diferentes con operadores $A$ y $B$ tienen valores definidos si la función de onda es una función propia tanto de $A$ y $B$ . Por lo tanto, la cuestión de si dos cantidades pueden ser definidas al mismo tiempo es realmente si sus operadores $A$ y $B$ tienen funciones propias comunes.

Es decir

Si dos operadores hermitianos conmutan, existe un conjunto completo de funciones propias comunes a ambos 1 .

En general, los observables con operadores que no conmutan no pueden tener valores definidos al mismo tiempo. Si uno tiene un valor definido, el otro es en general incierto.

Ahora, los análogos de las ecuaciones clásicas de movimiento en QM se pueden encontrar sustituyendo los paréntesis conmutadores divididos por $\mathrm i\hslash$ para el corchete de Poisson, a saber $$(~A, B~) \rightarrow \frac1{\mathrm i\hslash}~[~A,~B~]\tag{VI}$$

Lo que significa que las relaciones clásicas implican

$$[~q_i, ~q_k~] = 0;\qquad[~p_i, ~p_k~] = 0;\qquad[~q_i, ~p_k~] = \mathrm i\hslash~\delta_{ik}\,.\tag{VII} $$

Principio de incertidumbre:

Desviación típica del operador $A$ viene dado por

$$\sigma_A = \sqrt{\langle A^2\rangle - \langle A\rangle ^2}$$ donde $\langle \quad\rangle$ es el valor esperado del observable en el estado en cuestión.

Para un observable representado por el operador $A,$ la varianza de $A$ en un determinado estado $\Psi$ viene dado por

$$\sigma^2_A = \langle (A - \langle A\rangle)\Psi|(A - \langle A\rangle)\Psi\rangle\,.$$

Del mismo modo, para el observable representado por el operador $B,$ tenemos $$\sigma^2_B = \langle (B - \langle B\rangle)\Psi|(B - \langle B\rangle)\Psi\rangle\,.$$

Por lo tanto, \begin{align}\sigma^2_A\sigma^2_B &=\langle (A - \langle A\rangle)\Psi|(A - \langle A\rangle)\Psi\rangle\langle (B - \langle B\rangle)\Psi|(B - \langle B\rangle)\Psi\rangle\\ & \geqq \left|\langle(A - \langle A\rangle)\Psi|(B - \langle B\rangle)\Psi\rangle\right|^2~~ \textrm{Cauchy-Schwarz Inequality}\,.\tag{VIII} \end{align}

Para un número complejo $z,$ $$|z|^2 = ({\rm Re(z)})^2+ ({\rm Im(z) })^2 \geqq ({\rm Im(z) })^2 = \left(\frac{1}{2\mathrm i}~\left(z-z^\dagger\right)\right)^2$$ donde $z^\dagger$ es el conjugado complejo de $z\,.$

Toma $z$ ser $\langle(A - \langle A\rangle)\Psi|(B - \langle B\rangle)\Psi\rangle;$ esto significa $z^\dagger =\langle(B - \langle B\rangle)\Psi|(A - \langle A\rangle)\Psi\rangle\,. $

Por lo tanto, podemos escribir $\rm (VIII)$ como $$\sigma^2_A\sigma^2_B\geqq \left(\frac{1}{2\mathrm i}~\left(\langle(A - \langle A\rangle)\Psi|(B - \langle B\rangle)\Psi\rangle- \langle(B - \langle B\rangle)\Psi|(A - \langle A\rangle)\Psi\rangle\right)\right)^2\,.$$

Calcule los términos; al final, se encontrará que $$\langle(A - \langle A\rangle)\Psi|(B - \langle B\rangle)\Psi\rangle- \langle(B - \langle B\rangle)\Psi|(A - \langle A\rangle)\Psi\rangle =\langle [~A,~B~]\rangle \,.$$

Y, por lo tanto, se puede concluir $$\underbrace{\sigma^2_A\sigma^2_B\geqq \left(\frac{1}{2\mathrm i}~\left(\langle [~A,~B~]\rangle\right)\right)^2}_\textrm{Generalised Uncertainty Principle}\,.\tag{G.U.P}$$

Ahora, desde $\rm(VII),$ sabemos $[~x, ~p_x~] = \mathrm i\hslash$ donde $x$ y $p_x$ son operadores de posición y de momento; utilizando esto y el Principio de incertidumbre generalizada obtenemos el conocido posición-momento Principio de incertidumbre:

$$\sigma^2_x\sigma^2_{p_x} \geqq \left(\frac\hslash 2\right)^2\;.\tag{IX}$$

El Principio de Incertidumbre es un resultado general; se debe únicamente a la conmutatividad de los operadores y no a ninguna onda o partículas naturaleza.

El Principio de Incertidumbre se basa en el único hecho de que dos operadores no tienen por qué ser conmutativos entre sí .

El par de operadores de posición y momento no es más que uno de los muchos pares de operadores que no conmutan entre sí y, por tanto, sigue $\rm(G.U.P)\,.$

Relevancia de la onda imagen en el Principio de Incertidumbre.

Si $f$ y $F$ son transformadas de Fourier, que las anchuras de las gráficas de $|f(x)|^2$ y $|F(x)|^2$ no puede ser ambos arbitrariamente pequeño.

Hay teorema del ancho de banda que establece que el producto de la longitud de un paquete de ondas/grupo de ondas $\Delta x$ con la banda correspondiente $\Delta k$ de los números de onda no pueden hacerse arbitrariamente pequeños de forma simultánea. Precisamente, $$\Delta k \Delta x\approx \Delta \omega\Delta t \geqq 2\pi,$$ donde $\Delta \omega$ es una banda de frecuencias angulares del paquete de ondas y $\Delta t$ es el tiempo que tarda el paquete en pasar por un punto fijo con velocidad de grupo $v_g$ utilizando la relación $\Delta k = \dfrac{\Delta \omega}{v_g}\,.$

Utilizando la relación de De-Broglie, obtenemos de nuevo $$\Delta x\Delta p_x \geqq \frac{\hslash}2\,.\tag{X}$$

Esto es cierto porque la posición y el momento son conjugados de Fourier entre sí.

Conclusión:

¿Es cierto que este principio es consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la partícula, que la incertidumbre surge debido al hecho de que la partícula actúa como una onda?

Sí y no.

Seguramente el Principio de Incertidumbre puede derivarse del hecho de que las partículas cuánticas tienen ondas asociados a ellos.

Pero el Principio de Incertidumbre es un resultado mucho más general.

Se debe únicamente a la conmutatividad de los operadores.

No es necesario que todos los pares de operadores sean conmutativos.

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Referencias:

$\bullet$ Principios variacionales de la mecánica por Cornelius Lanczos .

$\bullet$ Mecánica cuántica por Leonard I. Schiff .

$\bullet$ Introducción a la mecánica cuántica por David J. Griffiths .

$\bullet$ Olas por Frank S. Crawford Jr.

$\bullet$ Principio de incertidumbre - Wikipedia .

Answer 3

Sí, en cierto sentido se puede decir que es la naturaleza ondulatoria de las "partículas" lo que condujo inevitablemente al principio de incertidumbre de Heisenberg. El descubrimiento original de Planck, que relacionaba energía y frecuencia, seguido de la relación equivalente entre el momento y el vector de propagación, implicaba que se puede tomar la transformada de Fourier de la distribución espacio-temporal de una partícula para obtener la información de su energía y momento. Mientras que en la física clásica el momento y la energía se consideran información adicional a la información de posición de una partícula, en la física cuántica entendemos ahora que representan la misma información. Se puede expresar la función de onda de la partícula en el espacio de posición o en el espacio de momento. Ambos representan la misma información.

Ahora bien, debido a las propiedades de esta relación entre los dos espacios, se da la situación de que si la distribución en el espacio de posición está muy localizada, entonces la distribución correspondiente en el espacio de momento estaría dispersa, y viceversa. Los productos de las anchuras de las distribuciones en los dos espacios respectivos nunca pueden ser menores que una cierta cantidad. Es el principio de incertidumbre de Heisenberg.

La razón por la que la transformada de Fourier conduce a esta relación es por las diferentes bases que se asocian a los dos espacios. Se dice que estas bases diferentes son mutuamente imparciales . Lo que esto significa es que la magnitud del solapamiento de cualquier par de elementos de las dos bases es siempre la misma. Por lo tanto, si tengo una distribución que está representada por uno solo de los elementos de una de las bases, su representación en términos de la otra base se repartirá necesariamente entre todos los elementos de esa base. Esta es una propiedad que puede ir más allá de la transformada de Fourier. Por lo tanto, se puede encontrar que el principio de incertidumbre de Heisenberg también se aplica en situaciones en las que los diferentes espacios no están relacionados por una transformada de Fourier.

Answer 4

Contrariamente a algunas de las otras respuestas, creo que puede ser bastante engañoso decir que el principio de incertidumbre se basa en las ondas, porque el principio de incertidumbre se mantiene incluso cuando el espacio de estados es finito dimensional, en cuyo caso se podría optar por llamar a un estado una "onda" por analogía, pero ciertamente no es una onda en el sentido que el OP parece tener en mente.

Por el contrario, el principio de incertidumbre se basa en la no conmutatividad del álgebra de los observables, independientemente de sobre qué actúen dichos observables y, en particular, independientemente de que actúen sobre algo que la OP quiera llamar onda.

Si la pregunta es "¿Cómo puedo entender el principio de incertidumbre con un mínimo de matemáticas?", entonces seguramente la respuesta es: Entendiendo el principio de incertidumbre en el caso de un espacio de estados bidimensional. Eso minimiza las matemáticas, pero no las elimina. A menos que estés dispuesto a dominar algo de álgebra lineal bidimensional, no vas a entender el principio de incertidumbre.

Si quieres eliminar las matemáticas por completo, entonces la mejor respuesta es que un electrón no tiene (normalmente) una posición definida exactamente por la misma razón que un electrón no tiene una película favorita --- simplemente no son propiedades que tengan los electrones. Si quieres entender qué propiedades tienen do tienen, entonces hay que volver a las matemáticas.

Answer 5

Sí, se debe a la naturaleza ondulatoria como se ha mencionado "que surge en la mecánica cuántica simplemente debido a la naturaleza de onda de materia de todos los objetos cuánticos" en https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle .

Tiene sentido que para nosotros, los observadores, la incertidumbre sea natural a niveles cuánticos. Sin embargo, algunos piensan que ni siquiera la naturaleza conoce los valores con certeza. Yo no creo que eso sea cierto. Si la naturaleza no lo supiera con certeza, entonces se violarían las leyes de conservación, irremediablemente, no sólo de forma intermitente.