Encuentre el menor número entero positivo que puede escribirse como la suma de los cuadrados de dos enteros positivos de dos maneras diferentes

Question

Encuentra el menor número entero positivo que se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos enteros positivos de dos formas diferentes.

He tardado muchísimo en resolver esto

Tengo

$50= 7^2 + 1^2 $

$50= 5^2 + 5 ^2 $

Lo hice con el método de prueba y error.

Tengo curiosidad por saber si esto salió durante mis exámenes, ¿hay una forma más rápida de encontrar la respuesta?

Answer 1

Considere la ecuación $x^2+y^2=z^2+w^2=N.$

Esto equivale a: $x^2-z^2=w^2-y^2=D.$

y necesitamos $D$ para tener al menos dos factorizaciones diferentes con los factores que tienen la misma paridad. Por lo tanto, un enfoque consiste en encontrar los valores más pequeños de $D$ que satisfacen esta propiedad. Otro enfoque es encontrar soluciones paramétricas.

Dejemos que $(x-z)=ab$ y $(x+z)=cd$ con $(w-y)=ac$ y $(w+y)=bd$ ,

que da la solución paramétrica: $\dfrac{1}{2}(ab+cd,bd-ac,cd-ab,ac+bd)$ . Tenemos $N=\dfrac{1}{4}(a^2b^2+c^2d^2+b^2d^2+a^2c^2)$ .

Ahora bien, desde el hecho de que $cd-ab$ y $bd-ac$ son enteros positivos distintos, podemos ver que no hay tres de $a,b,c,d$ puede ser el mismo.

Así, el valor lexicográficamente más pequeño de la tupla $(a,b,c,d)$ es $(1,1,2,3)$ que da la solución $(7,1,5,5)$ y $N=50$ . Una vez que tenemos esta solución, es fácil comprobar que otras tuplas de $a,b,c,d$ dan valores mayores de $N$ .

Answer 2

Me pregunto por qué he tardado tanto... Añadí todos los pares de los diez primeros cuadros en un trozo de papel de desecho en unos minutos. Quizá sea mucho tiempo.

\begin {array}{c|c|c} && +1 & +4 & +9 & +16 & +25 & +36 & +49 & +64 & +81 & +100 \\ \hline 1 && 2 \\ \hline 4 && 5 & 8 \\ \hline 9 && 10 & 13 & 18 \\ \hline 16 && 17 & 20 & 25 & 32 \\ \hline 25 && 26 & 29 & 34 & 41 & \color {rojo}{50} \\ \hline 36 && 37 & 40 & 45 & 52 & 61 & 72 \\ \hline 49 && \color {rojo}{50} & 53 & 58 & \color {azul}{65} & 74 & \color {magenta}{85} & 98 \\ \hline 64 && \color {azul}{65} & 68 & 73 & 80 & 89 & 100 & 113 & 128 \\ \hline 81 && 82 & \color {magenta}{85} & 90 & 97 & 106 & 117 & 130 & 145 & 162 \\ \hline 100 && 101 & 104 & 109 & 116 & 125 & 136 & 149 & 164 & 181 & 200 \\ \hline \end {array}

Esto también da el primer caso cuando todos los cuadrados en cuestión son distintos, en $65 = 8^2+1^2 = 7^2+4^2$

Answer 3

Si $p$ es un primo y $p \equiv 1 \bmod 4$ entonces $p=a^2+b^2$ para algunos $a,b \in \mathbb N$ .

En este caso, $2p^2$ tiene dos representaciones: $p^2+p^2$ y $(a-b)^2+(a+b)^2$ .

La segunda representación de $2p^2=|(1+i)(a+bi)^2|^2$ .

Así, la solución más pequeña es con $p=5$ para lo cual $a=2$ y $b=1$ y $(a+bi)^2=3-4i$ que dan $50=5^2+5^2=1^2+7^2$ .