¿Lo que ' s la cardinalidad de todas las secuencias con coeficientes en un conjunto infinito?

Question

Mi motivación para hacer esta pregunta es que una compañera mía me pidió algún tipo de pregunta que me hizo pensar en esto. No recuerdo su pregunta exacta porque él es una especie de desorden (tanto cuando se habla acerca de las matemáticas y la hora de pensar acerca de las matemáticas).

Estoy un poco atascado, aunque. Me siento como el conjunto de $A^{\mathbb{N}} = \{f: \mathbb{N} \rightarrow A, f \text{ is a function} \}$ deben tener la misma cardinalidad como el juego de poder de A, si a es infinito. Por otro lado, en este post, se afirma que las secuencias con coeficientes reales tiene la misma cardinalidad como los reales.

Es fácil ver que $A^{\mathbb{N}} \subseteq P(A)$, pero (obviamente), me quedé atrapado en la otra inclusión. Es allí cualquier resultado general que dice otra cosa? Las referencias se agradece.

EDITAR Para aclarar la intetion de esta pregunta: quiero saber si hay resultados generales sobre la cardinalidad de a $A^{\mathbb{N}}$ otros que es estrictamente menor que el de el juego de poder de A.

También, yo era consciente de que el otro inclusión no es cierto en general (como en el post aquí he ligado dio un contraejemplo), pero gracias por señalar el por qué. :)

Answer 1

De Jech de la Teoría de conjuntos, tenemos los siguientes teoremas sobre el cardenal exponenciación (un Corolario en la página 49):

Teorema. Para todos los $\alpha,\beta$, el valor de $\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}$ siempre es:

• $2^{\aleph_{\beta}}$; o
• $\aleph_{\alpha}$; o
• $\aleph_{\gamma}^{\mathrm{cf}\;\aleph_{\gamma}}$ algunos $\gamma\leq\alpha$ donde $\aleph_{\gamma}$ es tal que $\mathrm{cf}\;\aleph_{\gamma}\leq\aleph_{\beta}\lt\aleph_{\gamma}$.

Aquí, $\mathrm{cf}\;\aleph_{\gamma}$ es el cofinality de $\aleph_{\gamma}$: el cofinality de un cardenal $\kappa$ (o de cualquier límite ordinal) es el menos limitar ordinal $\delta$ que hay un aumento de la $\delta$-secuencia $\langle \alpha_{\zeta}\mid \zeta\lt\delta\rangle$$\lim\limits_{\zeta\to\delta} = \kappa$. El cofinality es siempre un cardenal, así que tiene sentido para comprender las operaciones anteriores como el cardenal de operaciones.

Corolario. Si la generalización de la Hipótesis continua se mantiene, entonces $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \left\{\begin{array}{lcl} \aleph_{\alpha} &\quad & \mbox{if %#%#%;}\\ \aleph_{\alpha+1} &&\mbox{if %#%#%;}\\ \aleph_{\beta+1} &&\mbox{if %#%#%.} \end{array}\right.$$

Así, en virtud de la GCH, para todos los cardenales $\aleph_{\beta}\lt\mathrm{cf}\;\aleph_{\alpha}$ con cofinality mayor que $\mathrm{cf}\;\aleph_{\alpha}\leq\aleph_{\beta}\leq\aleph_{\alpha}$ ha $\aleph_{\alpha}\leq\aleph_{\beta}$, y para los cardenales $\kappa$ con cofinality $\aleph_0$ (por ejemplo,, $\kappa^{\aleph_0} = \kappa$, $\kappa$), tenemos $\aleph_0$. (En particular, no es el caso de la cardinalidad de a $\aleph_0$ es necesariamente menor que la cardinalidad de a $\aleph_{\omega}$).

De nuevo, la GCH es considerada generalmente como el "aburrido" por el conjunto de los teóricos, de lo que yo entiendo.

Answer 2

Respuesta de Arturo Magidin tiene el teorema general. Aquí hay dos hechos que pueden ser útiles:

• Si $\aleph_0 \leq \lambda$ y $2 \leq \kappa \leq \lambda$ y $\kappa^\lambda = 2^\lambda = |P(\lambda)|$

• Si $\aleph_0 \leq \lambda \leq \kappa$ y $\kappa^\lambda = |\{ X \subseteq \kappa : |X| = \lambda \}|$

Answer 3

Tome $A = \mathbb{R}$, entonces usted tiene:

$|A| = 2^{\aleph_0}$ $|A^\mathbb{N}| = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = |A| < |\mathcal{P}(A)|$.

Addendum:

Para el comentario, así como una pequeña "obvio" que la observación de que probablemente debería ser mencionado - si $\kappa>1$ $\lambda\ge\aleph_0$ son dos números cardinales, para "generar" una relativamente pequeña (aunque esto es un mal término, ya que es coherente que este tamaño es prácticamente ilimitado) cardenal que es invariante bajo los poderes de $\lambda$, uno siempre puede tener $\kappa^\lambda$. El cálculo anterior es bueno para este caso para mostrar que el resultado tiene esta propiedad.

También es obvio que si $\kappa$ ya es invariante bajo los poderes de $\lambda$$\kappa^\lambda = \kappa$.

Answer 4

Si $A$ es countably infinito, entonces la cardinalidad de a $A^{\Bbb N}$ es igual a la cardinalidad de los reales: $|A^{\Bbb N}|=|A|^{|\Bbb N|}=\aleph_0^{\aleph_0}\leq (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\Bbb R|$ $\aleph_0^{\aleph_0}\geq 2^{\aleph_0}$ juntos da $|A^{\Bbb N}|=|\Bbb R|$.

Ver la página de la Wikipedia sobre los números cardinales.

Como se muestra por Asaf en su respuesta, $|A^{\Bbb N}|=2^{\aleph_0}$ si $|A|=2^{\aleph_0}$. De ello se deduce fácilmente que si $\aleph_0\leq|A|\leq2^{\aleph_0}$, entonces todavía $|A^{\Bbb N}|=2^{\aleph_0}$.

Al $A>2^{\aleph_0}$, las cosas comienzan a complicarse, y depende de si usted asume la generalización en el Continuum de la Hipótesis o no. Véase, por ejemplo, estas notas por Charles Morgan.