Triangulación de un colector adaptado a un submanifold

Question

No soy extremadamente competente en topología, y me preocupa la siguiente pregunta:

Dado un colector compacto $X$ y un submanifold $Y \subset X$ ¿siempre es posible encontrar una triangulación de $X$ que se restringe a una triangulación en $Y$ ? Es decir, de tal manera que los simples que se encuentran $Y$ definir una triangulación en él.

Si esto no es posible, ¿se convierte en verdad si $X$ es un complejo colector compacto y $Y$ un subconjunto analítico suave?

Answer 1

Siempre que su submanifold sea claramente incrustado la respuesta es sí. La incrustación limpia significa que el límite del submanifold (si existe) está en el límite del colector ambiental, intersectándose transversalmente. También requiere que los conjuntos compactos en el colector ambiental intersecten el submanifold en conjuntos compactos, así que cosas como $(0,1) \times \{0\} \subset \mathbb R^2$ no están permitidos.

La prueba es sólo una variación de la prueba de que los colectores lisos tienen triangulaciones. Repites la misma prueba (de Whitehead) pero manteniendo el seguimiento del submanifold en el proceso. Si no conoces la prueba de Whitehead de que los colectores lisos tienen triangulaciones, la idea básica es incrustar el colector en cualquier colector que sepas que tiene una triangulación (como un espacio euclidiano de alta dimensión o una esfera). Refinando la triangulación ambiental puedes asegurarte de que la incrustación aparezca localmente lineal en los simples de la triangulación ambiental. La estratificación de la triangulación ambiental se retrotrae a una estratificación del múltiple incrustado, que se subdivide en una triangulación.