Permítame preguntarle a la derecha en el inicio: ¿qué es la integración de Riemann realmente utilizada para?
Hasta donde yo soy consciente, utilizamos la integración de Lebesgue en:
la teoría de la probabilidad
la teoría de la PDE del
Las transformadas de Fourier
y realmente, en cualquier lugar que pueda pensar de donde la integración se utiliza (tal vez en la forma de Haar medida, como una generalización, aunque estoy seguro de que esto es muy incompleta de la imagen).
Permítanme un conocido teorema:
Deje que $f:[a,b]\to\mathbb R$ ser delimitada la función. Entonces:
(i) $f$ es Riemann-integrable si y sólo si $f$ es continua en casi todas partes en $[a,b]$ (con respecto a la medida de Lebesgue).
(ii) Si $f$ es Riemann-integrable en $[a,b]$, entonces $f$ es Lebesgue integrable y Riemann y Lebesgue integrales coinciden.
(Voy a tratar de ser justos, vamos a utilizar este resultado y la integración de Riemann para calcular muchos integrales de Lebesgue)
De esto podemos concluir que Riemann-integrabilidad es una condición más fuerte y quizás ingenuamente a la conclusión de que podría comportarse mejor. Sin embargo no; la integral de Riemann no comportarse bien en límites, mientras que la integral de Lebesgue: hemos Lebesgue monotono y dominado teoremas de convergencia.
Además, no estoy al tanto de cualquier característica universal de Riemann de la integración, mientras que en contraste tenemos este resultado presentado por Tom Leinster; establece Lebesgue de integración como la inicial en la categoría adecuada (categoría de espacios de Banach con la media).
También, estoy familiarizado con Lebesgue-Stiltjes integral, muy utilizado por ejemplo en la teoría de la probabilidad para definir las medidas adecuadas. Yo no estoy tan familiarizado con el concepto o el uso de Riemann-Stiltjes integral, y yo le agradeceria mucho si alguien pudiera proporcionar cualquier comparación.
Hasta donde yo sé, el único logro de la integración de Riemann es el teorema Fundamental del cálculo (a no descuidar su importancia). Estoy muy interesado en saber si hay más resultados importantes.
Para resumir la cuestión:
Donde es la integral de Riemann se utiliza en comparación con Lebesgue la integral (que se parece mucho mejor educados) y ¿por qué nos preocupamos?
Actualización:
Parece que se está de acuerdo en que la integración de Riemann sirve principalmente propósito didáctico en la enseñanza de introductionary cursos en análisis, como un trampolín para la integración de Lebesgue más tarde en las clases de teoría de la medida se introdujo. También, las integrales impropias fueron traídos como un ejemplo de algo integración de Lebesgue no se manejan bien. Sin embargo, en varias respuestas y comentarios tenemos otra noción, la de un indicador integral (Henstock–Kurzweil integral, (estrecho) Denjoy integral, Luzin integral o Perron integral). Esta integral no sólo se generaliza tanto de Riemann y Lebesgue de integración, pero también tiene mucho más satisfactoria teorema Fundamental del cálculo: si una función es una.e. diferenciable de lo que el diferencial es de calibre-integrable y, a la inversa de la función definida por calibre integral es una.e. diferenciable (aquí casi en todas partes significa en todas partes, hasta un contable set).
Gracias por todas las respuestas. Esta pregunta probablemente debe ser alterado de la siguiente forma (en más abiertas manera):
¿Cuáles son los pros y los contras de los diferentes tipos de integrales, y cuando debemos utilizar uno sobre el otro?
