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Question

$$\int \limits_{\pi/3}^{\pi/2}\dfrac{1}{\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)+1} \operatorname dx$$

Si trato de resolver esta integral con sustituciones universales: $$\tan\left(\frac{x}{2}\right)=t;\:\sin\left(x\right)=\frac{2t}{1+t^2};\:\cos\left(x\right)=\frac{1-t^2}{1+t^2};\:dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ $

$$\implies 2\int \limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1 \frac{\left(\dfrac{dt}{ 1+t^2}\right)}{ \left(\dfrac{2t-1+t^2+1+t^2}{1+t^2}\right)} $$

Obtener: $\displaystyle \int \limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1\:\dfrac{dt}{t\left(t+1\right)}$

La solución final, según mis cálculos es: $-\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\left(\ln\left(2\right)+\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+1\right)$

Que no es correcta teniendo en cuenta la respuesta dada por Symbolab: $\:\ln \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$

¿El error sería el enfoque o algo con los cálculos?

Answer 1

Tienes $$\displaystyle \int \limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1\:\dfrac{dt}{t\left(t+1\right)}$ $ es sin duda correcta. Ahora,\begin{align}\displaystyle \int \limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1\:\dfrac{dt}{t\left(t+1\right)} & = \displaystyle \int \limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1\:dt\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)\\ & = \log t \biggl|_{\sqrt{3}/3}^1 - \log(1+t)\biggl|_{\sqrt{3}/3}^1 \\ & = \log 1 - \log\frac{\sqrt{3}}{3} -\left(\log 2 - \log\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) \end {alinee el} y esto simplifica a la respuesta correcta.