Helicidad se conserva

Question

En mecánica de fluidos, la helicidad se define como $$\int_{R^3} u(x,t)\cdot \omega(x,t),$$ donde $u(x,t)$ es una solución suave de las ecuaciones de Euler $$\partial_tu + (u \cdot \nabla) u = -\nabla p$$ $$\nabla \cdot u = 0,$$ y $\omega$ es la vorticidad $\omega = \nabla \times u$. Tenemos que mostrar que helicidad es una cantidad conservada.

Lo que traté de hacer: también Tenemos las ecuaciones de Euler en forma de vorticidad $$\partial_t \omega + ((u\cdot \nabla )\omega) = (\omega \cdot \nabla)u.$$

Así, si escribimos en forma de componentes, y luego se multiplica la primera ecuación por $\omega_j$, la segunda ecuación por $u_j$, y, a continuación, suma más de $j$, el lado izquierdo tiene un plazo $\frac{d}{dt}\int_{R^3} (u \cdot \omega)$, que es lo que estamos tratando de mostrar es $0$. Pero, a continuación, el resto de las condiciones no parecen cancelar (yo también creo que algún tipo de integración por partes deben ayudar aquí).

Hay un enfoque diferente que sugieren las obras?

Answer 1

La tasa de cambio de la helicidad es dada por

$$\frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}^3} [u\cdot \omega]\,{\rm d}^3x = \int_{\mathbb{R}^3} \left[\frac{\partial u}{\partial t}\cdot \omega + u \cdot \frac{\partial \omega}{\partial t}\right]\,{\rm d}^3x$$

Primero, podemos usar la ecuación de Euler y la ecuación de vorticidad

$$\frac{\partial \omega}{\partial t} = (\omega\cdot\nabla)u - (u\cdot\nabla)\omega$$

para deshacerse de el tiempo-derivados. Esto nos deja con

$$\frac{dH}{dt} = \int_{\mathbb{R}^3} \left[-\nabla p \cdot \omega - \omega\cdot(u\cdot \nabla)u + u \cdot(\omega\cdot\nabla)u - u \cdot(u\cdot\nabla)\omega\right]\,{\rm d}^3x$$

El primer término puede escribirse como $-\nabla \cdot [p \omega]$ desde $\nabla\cdot \omega = 0$ y para el resto de los términos nos encontramos

$$\begin{align}\frac{1}{2}\nabla\cdot(|u|^2\omega) &= u\cdot (\omega\cdot \nabla)u \\ \nabla\cdot[u(u\cdot\omega)] &= \omega\cdot(u\cdot \nabla)u + u\cdot (u\cdot\nabla)\omega\end{align}$$

donde hemos utilizado $\nabla\cdot\omega = \nabla\cdot u = 0$. Poniendo todo togeather nos da

$$\frac{dH}{dt} = \int_{\mathbb{R}^3} \nabla\cdot\left[-p \omega - u(u\cdot\omega) + \frac{1}{2}|u|^2\omega\right]\,{\rm d}^3x$$

y el resultado deseado, $\frac{dH}{dt} = 0$, sigue por el teorema de la divergencia.

Answer 2

Una forma de escribir la ecuación de Euler es a través del llamado de la magnetización de las variables (ver Chorin, A. J.: la Vorticidad y la Turbulencia, o http://faculty.missouri.edu/~stephen/preprints/mo_smpok.html) $$ \frac{\partial m}{\partial t} = - u \cdot \nabla m - m \cdot (\nabla u)^T = -\mathcal L_u^{(1)} m ,$$ donde $u$ puede ser calculada a partir de $m$ a través de la descomposición de Hodge $m = u + \nabla q$ donde $\nabla \cdot u = 0$. Aquí $\mathcal L_u^{(1)}$ representa la Mentira derivado a lo largo de $u$ de una 1-forma. Por lo tanto, tomar rizos (equivalentemente, el $d$ operador en las formas exteriores), obtenemos la ecuación $$ \frac{\partial w}{\partial t} = -\mathcal L_u^{(2)} w ,$$ donde $w = \text{curl} \, m = \text{curl} \, u = dm$. Aquí $\mathcal L_u^{(2)}$ representa la Mentira derivado a lo largo de $u$ de una 2-forma.

Ya que estamos en 3D, y puesto que el flujo es incompresible, la Hodge dualidad naturalmente identifica de 2 formas con vectores: $$ w = \begin{bmatrix} 0 & w_3 & -w_2 \\ -w_3& 0 & w_1 \\ w_2 & -w_1 & 0 \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix} =: \tilde w. $$ Aquí se denota la vorticidad como una 2-forma por $w$, y la vorticidad como un vector como $\tilde w$. Entonces $$ \frac{\partial \tilde w}{\partial t} = - \mathcal L_u \tilde w = - u \cdot \nabla \tilde w + \tilde w \cdot \nabla u .$$ Aquí $\mathcal L_u$ representa la Mentira derivado a lo largo de $u$ de un vector.

A continuación, vemos que $m \cdot \tilde w = m \wedge w$ es un tres formulario, el cual en 3D de forma natural se identifica con las funciones escalares. (En realidad, el volumen de las formas, pero puesto que el flujo es incompresible este es el mismo como una función escalar.) Por lo tanto $m \cdot \tilde w$ obedece a la simple ecuación de transporte $$ \frac{\partial}{\partial t} (m \cdot \tilde w) = - u \cdot \nabla (m \cdot \tilde w) .$$ La ecuación de transporte de hojas de la distribución invariante, es decir, $$ \text{measure}\{x:(m(x,t) \cdot \tilde w(x,t)) \in A\} $$ es constante en el tiempo para cualquier conjunto de Borel $A$. En particular $$ H = \int_{\mathbb R^3} m \cdot \tilde w $$ es constante en el tiempo. Pero $$ \int_{\mathbb R^3} (\nabla q) \cdot \tilde w = 0$$ debido a $\nabla \cdot \tilde w = d(dw) = 0$. Por lo tanto $$ H = \int_{\mathbb R^3} u \cdot \tilde w $$ es en realidad la helicidad.