¿Cuál es la importancia de 3n en la conjetura de Collatz?

Question

Yo no soy matemático, así que me perdone si hago suposiciones equivocadas. Me preguntaba cuál es la importancia de la $3n$ es en el Collatz Coyuntura.

Si usted acaba de hacer $n + 1$, parece que va a terminar en $1$ también.

Esto parecería lógico para mí, porque vas a hacer $n + 1$ cuando se trata de un número impar. El efecto es que ahora usted ha hecho que sea un número par. Cualquier usted será capaz de reducir cualquier número a $2$ (posible suposición equivocada aquí?). Y $\frac{2}{2}$$1$.

Así que en lugar de:

$\quad$ Número: $\frac{n}{2}$
$\quad$ Número impar: $3n + 1$

No podía ser de:

$\quad$ Número: $\frac{n}{2}$
$\quad$ Número impar: $n + 1$

O alguien más ha contestado a esta pregunta? De nuevo, yo no soy matemático, así que no es realmente familiarizados con esto.

Answer 1

El caso del factor $3$ es más interesante porque con el factor $1$ es fácil de demostrar que la secuencia de visitas $1$. Podemos demostrarlo por inducción: $n_0=1,2$ esto es claramente cierto. Supongamos que es cierto para todas las partida valores $1,2,\dots,n_0-1$. Entonces si $n_0$ es par, el siguiente número será $n_0 / 2 < n_0$ y así la secuencia llegará a $1$. Si $n_0$ es impar, el siguiente número será $n_0 + 1$ y el número después será $\frac{n_0 + 1}{2} < n_0$ y así la secuencia llegará a $1$ otra vez por inducción.