Motivación: la determinación de si un punto de $p$ está por encima o por debajo de un plano de $\pi$, el cual es definido por $d$ puntos, en una $d$-dimensiones del espacio, es equivalente a calcular el signo del determinante de una matriz de la forma
A = $\begin{pmatrix}p_{1}^{\left(1\right)} & p_{1}^{\left(2\right)} & \cdots & p_{1}^{\left(d\right)} & 1\\ p_{2}^{\left(1\right)} & p_{2}^{\left(2\right)} & \cdots & p_{2}^{\left(d\right)} & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ p_{d}^{\left(1\right)} & p_{d}^{\left(2\right)} & \cdots & p_{d}^{\left(d\right)} & 1\\ p^{\left(1\right)} & p^{\left(2\right)} & \cdots & p^{\left(d\right)} & 1 \end{pmatrix}$
Notas -
- Cuando digo signo, quiero decir, ya sea positiva, negativa o cero
- La entrada ${p_i}^j$ $j$coordenada (por ejemplo,, $x$, $y$ y $z$ al $d$=3) de la $i$'th punto en mi problema. La matriz es no una matriz de Vandermonde.
La matriz resultante se compone de los números de punto flotante. No tiene ninguna estructura especial, no es diagonalmente dominante, no es simétrica, y no tiene ninguna razón especial para ser positivo-semidefinite. Podría ser escasa, aunque.
Es, sin embargo, muchas veces casi singular.
Estoy interesado en el cómputo de las $\mbox{sign}(|A|)$, de una forma rápida y robusta.
Ya que esta es la Matemática-SE, estoy principalmente preguntando si hay alguna espectral de teoremas que permiten este cálculo sin explícitamente calcular el determinante. Por ejemplo, el Greshgorin Círculo Teorema podría ser muy útil si $A$ fue diagonalmente dominante. Alternativamente, cualquier turístico de la prueba para identificar algunos casos también sería útil.
