¿Es un campo de $\mathbb{Q}[2^{1/3}]$?

Question

¿Es un campo de $\mathbb{Q}[2^{1/3}]=\{a+b2^{1/3}+c2^{2/3};a,b,c \in \mathbb{Q}\}$?

He comprobado que $b2^{1/3}$ y $c2^{2/3}$ ambos tienen inversas, $\frac{2^{2/3}}{2b}$ y $\frac{2^{1/3}}{2c}$, respectivamente.

Hay algunos elementos con $a,b,c \neq 0$ que tienen inversas, como $1+1*2^{1/3}+1*2^{2/3}$, cuyo inverso es $2^{1/3}-1$.

Mi problema es que parece que no puedo encontrar una fórmula para la inversa, pero también parece que no puedo encontrar a alguien que no tiene una inversa.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

NOTA $\ $ $\rm\:f(x) = x^3 - 2\:$ es irreducible en el % de dominio euclidiano $\rm\:\mathbb Q[x]\:,\:$cualquier grado inferior % polinomio $\rm\:g(x) = a + b\:x + c\:x^2\:$está coprime que en $\rm\:\mathbb Q[x]\:,\:$ por lo tanto, el Algoritmo euclidiano, hay un % de la ecuación de Bezout $\rm\ a\ f + b\ g = 1\ $que produce $\rm\ b(2^{1/3})\ g(2^{1/3}) = 1\ $ $\rm\:x = 2^{1/3}\:.$

Answer 2

Una manera aseada para confirmar que es un campo:

$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}[x]$ Es un campo, es un PID. $\mathbb{Q}[2^{1/3}] \cong \mathbb{Q}[x] / (x^3 - 2)$. Ahora, $x^3 - 2$ es irreducible en $\mathbb{Q}$, ya que si no fuera, sería una raíz racional $x^3 - 2$. Porque el polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}[x]$ $\mathbb{Q}$ es un PID, $(x^3 - 2)$ es un ideal maximal en $\mathbb{Q}[x]$.

Por el teorema de la correspondencia de ideales, podemos ver que como máximo $(x^3 - 2)$, $\mathbb{Q}[x] / (x^3 - 2)$ debe ser un campo.

Answer 3

Es un campo, y usted no necesita encontrar un inverso de cada elemento demostrar que cada elemento tiene un inverso. Puede demostrar que si $\alpha$ es en el conjunto de $\lbrace\,1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\,\rbrace$ es un conjunto linealmente dependiente sobre los racionales, y luego deducir que $\alpha$ satisface una ecuación de grado 3 (como máximo) sobre los racionales, entonces si tienes $A\alpha^3+B\alpha^2+C\alpha+D=0$ $\alpha(A\alpha^2+B\alpha+C)=-D$, desde donde se puede ver una inversa a $\alpha$.

Answer 4

De hecho, el inverso del $x=2^{1/3}$ puede ser computado de una manera muy elemental como sigue. Desde $x\neq0$, la igualdad $$ x ^ 3-2 = x\left (x ^ 2-\frac2x\right) = 0 rendimientos de $$ $$ \frac1x=\frac12x^2\in{\Bbb Q} [x]. $$ Este "truco" se extiende inmediatamente a cualquier número algebraico.