No voy a decir nada más de Theo y Eric ya se ha dicho, pero...
Como Eric dice, cada $\mathbb{R}^n$ puede ser visto como un espacio de funciones de $f: T_n \longrightarrow \mathbb{R}$.
Es decir, el vector $v = (8.2 , \pi , 13) \in \mathbb{R}^3$ es la misma que la función $v: \left\{ 1,2,3\right\} \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $v(1) = 8.2, v(2) = \pi$$v(3) = 13$.
Así, las coordenadas de $v$ son los mismos que sus valores en el conjunto de $\left\{ 1,2,3\right\}$, ¿no? En efecto, las coordenadas de $v$ son los coeficientes que aparecen en el lado derecho de esta igualdad:
$$
(8.2, \pi , 13) = v(1) (1,0,0) + v(2) (0,1,0) + v(3) (0,0,1) \ .
$$
Por otro lado, las coordenadas de $v$ son sus coordenadas en el estándar de la base de $\mathbb{R}^3$: $e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0)$ y $ e_3 = (0,0,1)$ y podemos ver estos vectores de la base estándar como funciones, como todos los vectores en $\mathbb{R}^3$. Son los siguientes "funciones":
$$
e_i (j) = \begin{cases}
1 & \text{if}\quad i=j \\
0 & \text{if}\quad i \neq j
\end{casos}
$$
Esta es una extraña manera de mirar las antiguas, confiable, $\mathbb{R}^3$ y su nivel de base, ¿no?
Bueno, el punto en hacerlo es hacerse de la siguiente construcción: vamos a $X$ ser cualquier conjunto (finito o infinito, contables o incontables) y consideremos el conjunto de todas las funciones de $f: X \longrightarrow \mathbb{R}$ (no necesariamente continua: además, ya no pedimos $X$ a de un espacio topológico, no tiene sentido hablar de la continuidad). Llamar a este conjunto de
$$
\mathbb{R}^X \ .
$$
Ahora, usted puede hacer $\mathbb{R}^X $ en un verdadero espacio vectorial mediante la definición de
$$
(f + g)(x) = f(x) + g(x) \qquad \text{y} \qquad (\lambda f)(x) = \lambda f(x)
$$
para cada $x \in X$, $f, g \in\mathbb{R}^X $ y $\lambda \in \mathbb{R}$.
Y usted podría tener un "estándar" en el $\mathbb{R}^X$, que sería el conjunto de funciones $e_x : X \longrightarrow \mathbb{R}$, uno para cada punto de $x \in X$:
$$
e_x (y) = \begin{cases}
1 & \text{if}\quad x=y \\
0 & \text{if}\quad x \neq y
\end{casos} \ .
$$
Así, se ve a $\mathbb{R}^3$ puede ser visto como un ejemplo particular de un espacio de funciones de $\mathbb{R}^X$ si ves el número de $3$ como el conjunto $\left\{ 1,2,3\right\}$: $\mathbb{R}^3 = \mathbb{R}^\left\{ 1,2,3\right\} = \mathbb{R}^\mathbb{T_3}$ y las "coordenadas" de una función de $f\in \mathbb{R}^X$ son los mismos que sus valores de $\left\{ f(x)\right\}_{x \in X}$.
(De hecho, una función de $f$ es la misma que la de su conjunto de valores sobre todos los puntos de $X$, ¿no? -En la misma forma como identificar cada vector con sus coordenadas en una base.)
Advertencia. He sido infiel, un poco aquí, porque, en general, el conjunto de $\left\{ e_x\right\}_{x\in X}$ no es una base para el espacio vectorial $\mathbb{R}^X$. Si fue así, cada función de $f\in \mathbb{R}^X$ podría ser escrito como una finito combinación lineal de los $e_x$. De hecho, usted tiene
$$
f = \sum_{x\in X} f(x) e_x \ ,
$$
pero la suma de la derecha no necesita ser finito si $X$ que no lo es, por ejemplo.
Una forma de solucionar esto: en lugar de $\mathbb{R}^X$, considerar el subconjunto $S \subset \mathbb{R}^X$ funciones $f: X \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x) \neq 0$ sólo para un finito número de puntos de $x\in X$. Entonces es cierto que $\left\{ e_x\right\}_{x\in X}$ es una base para $S$.
(De lo contrario, dijo, $\mathbb{R}^X = \prod_{x\in X} \mathbb{R}_x$ $S = \bigoplus_{x\in X} \mathbb{R}_x$ donde $\mathbb{R}_x = \mathbb{R}$ todos los $x\in X$.)
