¿Rastro de una forma bilineal?

Question

Yo sólo soy un principiante de la geometría diferencial, así que por favor me perdone si esto no es sino una pregunta tonta o es que estoy haciendo una crítica error conceptual.

Deje $\mathrm{I\!I}(X, Y)$ ser la segunda forma fundamental en una incrustado $n$-colector en la $(n+1)$-dimensional en el espacio Euclidiano. A continuación, la media de la curvatura de la $H$ se define como la traza de $\mathrm{I\!I}( \cdot, \cdot)$ dividido por $n$. Pero mi pregunta que se plantea aquí. ¿Qué hace el seguimiento de una forma bilineal medios, especialmente en el sentido de un campo tensorial en un gráfico de coordenadas? Por supuesto, considerando $\mathrm{I\!I}(\xi^i g_i, \eta^j g_j) = \mathrm{I\!I}(g_i, g_j) \xi^i \eta_j$ nos da una representación de la matriz de $h_{ij} = \mathrm{I\!I}(g_i, g_j)$ con respecto a la contravariante. Pero si tomamos $H$ como un mero seguimiento de esta matriz $(h_{ij})$, sólo tenemos una cantidad que no es invariante bajo cambios de coordenadas, que parece obviamente indeseable. Sé que tengo problemas para entender la naturaleza de la $\mathrm{I\!I}( \cdot, \cdot)$, ya que la respuesta correcta sería $(1/n)h_{i}^{i}$ donde $h_{i}^{j} = h_{il}g^{lj}$. ¿Hay alguna alma generosa que me pueda ayudar a salir de este conceptuales messup?

Answer 1

Este es un problema puramente local. Deje $V$ ser finito-dimensional real del producto interior espacio con producto interior $\langle -, - \rangle$. Luego endomorphisms $T : V \to V$ puede ser, naturalmente, identificado con formas bilineales en $V$ a través de la identificación de $T \mapsto \langle -, T(-) \rangle$. El inverso de identificación existe gracias a la "representación de Riesz teorema" (trivial en esta configuración). En particular, la traza de una forma bilineal puede ser identificado con la traza de la correspondiente endomorfismo, y así está bien definido hasta ortogonal cambio de coordenadas.

Otra forma de decir esto es como sigue. Estás en lo correcto de que formas bilineales $V \times V \to \mathbb{R}$ no tienen bien definida la noción de seguimiento para $V$ sólo un verdadero espacio vectorial; lo que tiene una bien definida la noción de huella, es un endomorfismo $V \to V$, y esto es debido a que podemos identificar endomorphisms con elementos de $V \otimes V^{\ast}$, y el doble de emparejamiento da un distinguido mapa de $V \otimes V^{\ast} \to \mathbb{R}$. Porque uno no necesita hacer alguna opciones para definir este mapa, automáticamente se invariante bajo cambios de coordenadas.

Formas bilineales, por otro lado, son elementos de $V^{\ast} \otimes V^{\ast}$, y no análogo de la doble vinculación que existe aquí en general. Sin embargo, si $V$ es un producto interior el espacio, el producto interior da un distinguido isomorfismo $V \simeq V^{\ast}$ envío de $v \in V$ $\langle -, v \rangle$y, a continuación, la identificación de arriba es posible.