¿Podemos incrustar sin problemas $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^1$ o $\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^4$ ?

Question

Últimamente he estado pensando un poco en las incrustaciones suaves. En particular, me preguntaba:

Haga el $3$ -manifolds $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^1$ y $\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{R}$ se integra sin problemas en $\mathbb{R}^4$ ?

Como la mayoría de las preguntas que hago en este sitio, lo hago totalmente por curiosidad, y en gran medida porque no tengo ni idea de cómo empezar.

Otra pregunta: Si cualquiera de los dos puntos anteriores tiene una respuesta positiva, ¿podríamos (de forma más general) incrustar $\Sigma^2 \times \mathbb{S}^1$ o $M^2 \times \mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^4$ , donde $\Sigma^2$ , $M^2$ son superficies lisas compactas (orientables, no orientables, resp.).

Nota: Soy consciente de que el $3$ -manifolds $\Sigma^2 \times \mathbb{S}^1$ puede sumergirse en $\mathbb{R}^4$ y se incrusta en $\mathbb{R}^5$ .

Answer 1

Si $\Sigma^2$ es una superficie orientable compacta, entonces $\Sigma^2\times\mathbb{S}^1$ se puede integrar sin problemas en $\mathbb{R}^4$ . El truco es sencillo: primero incrustar $\Sigma^2$ en $\mathbb{R}^4$ y que $T$ ser un barrio de los tubos de la superficie. Entonces el cierre de $T$ es isomorfo a $\Sigma^2\times\mathbb{D^2}$ y el límite de $T$ es isomorfo a $\Sigma^2\times\mathbb{S}^1$ . Tenga en cuenta que $\Sigma^2\times\mathbb{R}$ también se incrusta en $\mathbb{R}^4$ ya que es un submanifold de $\Sigma^2\times\mathbb{S}^1$ .

Ningún 3manifold cerrado y no orientable puede estar incrustado en $\mathbb{R}^4$ por la misma razón por la que ninguna superficie cerrada y no orientable puede estar incrustada en $\mathbb{R}^3$ . (Si existiera una incrustación de este tipo, entonces las normales "que apuntan hacia dentro" podrían utilizarse para definir una orientación de la variedad). En particular, si $M^2$ es una superficie compacta no orientable, entonces $M^2\times\mathbb{S}^1$ no puede ser incrustado en $\mathbb{R}^4$ .

El caso $M^2\times\mathbb{R}$ para $M^2$ una superficie no orientable se cubre brevemente en este documento (cerca de la parte superior de la cuarta página). En particular:

• Si $M^2$ tiene la característica impar de Euler (como el plano proyectivo), entonces $M^2\times\mathbb{R}$ no puede incrustarse en $\mathbb{R}^4$ . (Esto está relacionado con, pero no se deduce de esta pregunta .) El documento al que se ha hecho referencia anteriormente ofrece el siguiente argumento al respecto:

  Aunque $M^2$ no es orientable, la clase normal de Euler $\bar{e}(M^2)\in\mathbb{Z}$ de un incrustación $M^2\subset\mathbb{R}^4$ está bien definido y $\bar{e}(M^2) = 2\,\chi(M^2)\;\mathrm{mod}\;4$ [se dan varias citas]. Por lo tanto, el haz normal de una incrustación $M^2\subset\mathbb{R}^4$ no tiene secciones transversales.

• Si $M^2$ tiene característica de Euler par, entonces $M^2\times\mathbb{R}$ se puede integrar sin problemas en $\mathbb{R}^4$ . Esto debe quedar claro para la botella de Klein: la inmersión estándar de la botella de Klein $K$ en $\mathbb{R}^3$ puede ser "espesada" para dar una inmersión de $K\times\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^3$ que puede modificarse ligeramente para obtener una incrustación en $\mathbb{R}^4$ . El mismo argumento funciona para las otras superficies con característica de Euler par, ya que cada una de ellas es simplemente una botella de Klein con asas adjuntas.

Answer 2

Cualquier producto de esferas se incrusta en la codimensión $1$ . Es un buen ejercicio con el Teorema del Vecino Tubular. Todavía no estoy seguro de la segunda.