¿es el dual de un módulo finitamente generado finitamente generado?

Question

Recientemente pensó en esto y no tienen idea de si sobre un anillo comutativo general el doble de un módulo finitamente generado finitamente generado. Esto debe ser conocido.

Answer 1

Si $I$ es un ideal de a $R$, el doble de $R/I$ es isomorfo a $\mathrm{Ann}(I) = \{r \in R : rI = 0\}$, y esto no tiene que ser finitely generado. Tomemos por ejemplo la $R = k[y,x_1,x_2,\dotsc]/(y x_i : i \geq 1)$$I=(y)$.

Una forma más natural, la pregunta sería: ¿Cómo podemos caracterizar anillos conmutativos con la propiedad de que las duales de f.g. los módulos a través de este anillo son f.g.? Incluso más natural: ¿Cómo podemos caracterizar anillos conmutativos con la propiedad de que hom módulos entre f.g. los módulos son f.g.? Por ejemplo, noetherian conmutativa anillos de satisfacer esta propiedad (ver el comentario por Keenan Kidwell). Pero creo que hay más ejemplos (quizás coherente de los anillos?).