$F[t]$ tiene teoría existencial positiva indecidible en el % de lenguaje $\{+, \cdot , 0, 1, t\}$

Question

Consideremos el anillo de $F[t, t^{-1}]$ (los polinomios en la $t$ $t^{-1}$ con coeficientes en el campo de $F$).

Teorema 1.

Suponga que la característica de $F$ es cero. A continuación, el existencial de la teoría de la $F[t, t^{-1}]$ en el idioma $\{+, \cdot , 0, 1, t\}$ es unecidable.

Teorema 2.

Suponga que $F$ tiene características de las $p>2$. A continuación, el existencial de la teoría de la $F[t, t^{-1}]$ es indecidible.

Tenemos que incluso el positivo existencial de la teoría de la $F[t, t^{-1}]$ es indecidible.

Ahora damos un Lema que, junto con los anteriores resultados, nos permite concluir que el undecidability de la positiva existencial de la teoría de la $F[t]$ en el idioma $\{+, \cdot , 0, 1, t\}$.

Lema.

Si la característica de $F$ es distinta de $2$, entonces las soluciones de $$X^2-(t^2-1)Y^2=1$$ with $X$ and $S$ in $F[t]$ are given by $$(X, Y)=(\pm x_n, y_n)$$ where $$x_n+\sqrt{t^2-1}y_n=(t+\sqrt{t^2-1})^n$$ fr $n$ in $\mathbb{Z}$.

Teorema 3.

Si la característica de $F$ es distinta de$2$, $F[t]$ ha indecidible positivo existencial de la teoría en el lenguaje de $\{+, \cdot , 0, 1, t\}$.

Prueba.

Escribir $u=t+\sqrt{t^2-1}$.

A continuación,$u^{-1}=t-\sqrt{t^2-1}$$F[u, u^{-1}]=F[t, \sqrt{t^2-1}]$.

Podemos interpretar la positiva existencial de la teoría de la $F[u, u^{-1}]$$F[t]$, de la siguiente manera:

un elemento $x$ $F[u, u^{-1}]$ es representado como un par $x=(a, b)$ $a, b$ $F[t]$ de los componentes de $x$ con respeto a la base de $\{u, u^{-1}\}$ considerando los $F[u, u^{-1}]$ como un módulo más de $F[t]$; la suma y la multiplicación de los elementos de $F[u, u^{-1}]$ está definido en consecuencia.

Así, vemos que el positivo existencial de la teoría de la $F[u, u^{-1}]$ es interpretable en $F[t]$ con sólo un problema: no tenemos constantes para $u$ $u^{-1}$ pero sólo para $\frac{u+u^{-1}}{2}=t$.

Así, el positivo existencial de la teoría de la $F[t]$ es indecidible a condición de que la teoría de la $F[u, u^{-1}]$ es indecidible en el idioma $\{0, 1, u+u^{-1}/2, +, \cdot\}$.

Es sólo una cuestión de rutina para comprobar que nuestro undecidability resultado para $F[u, u^{-1}]$ es cierto en este idioma así: simplemente sustituto $v=u-t$, escribir todas las ecuaciones que intervienen en el formulario de $fv=g$ donde $f$ $g$ coeficientes en $F[t]$ (cantidad $v^2$, siempre que aparece, es reemplazado por $t^2-1$$F[t]$) y sustituir las ecuaciones de esta última forma por las correspondientes ecuaciones de $f^2(t^2-1)=g^2$.

Por supuesto, es necesario comprobar que las nuevas soluciones que entra en escena a través de la cuadratura no hacer ningún daño a las equivalencias.

Por lo tanto, el teorema de la siguiente manera.

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¿Cómo podemos usar el Lema en la prueba del Teorema $3$ ? ¿Cómo es útil?

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EDITAR:

Eso es lo que yo entendí del todo la prueba del Teorema $3$ :

Sabemos que la teoría existencial de $F[u, u^{-1}]$ en el idioma $\{+, \cdot , 0, 1, u\}$ es indecidible.

Queremos reducir el positivo existencial de la teoría de la $F[u, u^{-1}]$ en el idioma $\{+, \cdot , 0, 1, u\}$ a la positiva existencial de la teoría de la $F[t]$ en el idioma $\{+, \cdot , 0, 1, t\}$ a mostrar que esta teoría también es indecidible.

Para hacer eso hacemos lo siguiente:

Suponemos que el positivo existencial de la teoría de la $F[t]$ en el idioma $\{+, \cdot , 0, 1, t\}$ es decidable.

Nos pusimos $u=t+\sqrt{t^2-1}$. Por lo tanto, tenemos que $u^{-1}=t-\sqrt{t^2-1}$.

Por lo tanto, tenemos $F[u, u^{-1}]=F[t, \sqrt{t^2-1}]$. Por eso, $F[u, u^{-1}]$ es una extensión de $F[t]$.

Cada elemento de a $x$ $F[u, u^{-1}]$ puede ser escrito como sigue: $x=a+b\sqrt{t^2-1}$ donde $a,b \in F[t]$.

Así, la asignación de la reducción de la es $x \mapsto (a,b)$.

$+ \ \ : \ \ $ $$x_1+x_2=a_1+b_1\sqrt{t^2-1}+a_2+b_2\sqrt{t^2-1}=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{t^2-1} \mapsto (a_1+a_2, b_1+b_2)$$ $\cdot \ \ : \ \ $ $$x_1\cdot x_2=(a_1+b_1\sqrt{t^2-1})(a_2+b_2\sqrt{t^2-1})=a_1 \cdot a_2+a_1 \cdot b_2 \sqrt{t^2-1}+a_2 \cdot b_1\sqrt{t^2-1}+b_1 \cdot b_2 (t^2-1)=(a_1 \cdot a_2+b_1 \cdot b_2 (t^2-1))+(a_1 \cdot b_2+a_2 \cdot b_1)\sqrt{t^2-1} \mapsto (a_1 \cdot a_2+b_1 \cdot b_2 (t^2-1), a_1 \cdot b_2+a_2 \cdot b_1)$$ $0 \ \ : \ \ $ $$0=0+0 \sqrt{t^2-1} \mapsto (0,0)$$ $1 \ \ : \ \ $ $$1=1+0 \sqrt{t^2-1} \mapsto (1,0)$$
$u \ \ : \ \ $ $u \mapsto u-t=:v$. Podemos escribir todas las ecuaciones en la forma $fv=g$ donde $f,g \in F[t]$ y el cuadrado de estas ecuaciones obtenemos $f^2v^2=g^2 \Rightarrow f^2(t^2-1)=g^2$, por lo que todas estas ecuaciones están en $F[t]$ donde $t=(u+u^{-1})/2$.

Así, podemos convertir el algoritmo de respuestas positivas a preguntas existenciales de $F[t]$ a un algoritmo que de respuestas a las preguntas existenciales de $F[u, u^{-1}]$.

Desde la segunda teoría es indecidible, obtenemos aa contradicción. Así que el positivo existencial de la teoría de la $F[t]$ es indecidible.

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Es esto correcto?

Answer 1

Son, creo, preguntando acerca de una prueba en el papel de las Extensiones de Hilbert del Décimo Problema por Thanases Phaedas. Le he preguntado a tres preguntas sobre este tema. El fondo es que Phaedas ha demostrado que la teoría existencial de $F[u, u^{-1}]$ es indecidible (que en realidad escribió $t$ en lugar de $u$ cuando comprobó, pero ahora ha cambiado a $u$). Él está tratando de hacerse más fuerte, resultado de la reducción de decidability en el polinomio anillo de $F[t]$ a decidability en el anillo de polinomios de Laurent $F[u, u^{-1}]$. El enfoque es extender $F[t]$ $F[t, s\mathrel{|} s^2 = t^2 - 1]$(pero Phaedas no acaba de expresarlo de esa forma). A continuación, se observa que el $F[t, s]$ es isomorfo a $F[u, u^{-1}]$ bajo un isomorfismo que se asocia a$t$$(u + u^{-1})/2$$s$$(u - u^{-1})/2$.

Su primera pregunta es:

un elemento $x$ $F[u, u^{-1}]$ es representado como un par $x=(a, b)$ $a, b$ $F[t]$ de los componentes de $x$ con respeto a la base de $\{u, u^{-1}\}$ considerando los $F[u, u^{-1}]$ como un módulo más de $F[t]$

Esto significa que podemos escribir cualquier elemento $x$ $F[u, u^{-1}]$ en la forma $x=au+bu^{-1}$ ?

Esto significa que cada $x \in F[u, u^{-1}]$ puede escribirse de forma única como $x = au+bu^{-1}$$a, b \in F[t]$. Sin embargo, creo que esto es falso. $F[t, s]$ es un módulo de rango $2$$F[t]$, una base adecuada de ser $\{1, s\}$ (que Pheidas iba a escribir como $\{1, \sqrt{t^2 - 1}\}$). Lo que esto significa es que cada elemento de a $x \in F[u, u^{-1}]$ puede ser escrito de una manera única en la forma $a + bs$ $a, b \in $F[t]$. Creo que esto es sólo una (muy importante) error tipográfico.

La segunda pregunta es:

Tenemos que cada elemento de a $F[u, u^{-1}]$ puede ser representado como un elemento de $F[t]$, además de a$u$$u^{-1}$, con motivo de que el lenguaje no consiste en una raíz cuadrada. Es esto correcto?

Lo que tenemos es que cada elemento de a $F[u, u^{-1}]$ se puede representar de forma única como un par de elementos de a $a, b$ $F[t]$ $(a, b)$ en representación $a + bs$ (después de mi corrección para Pheidas de la declaración sobre la base de la anterior).

Su pregunta final es:

$\ldots$ simplemente sustituto $v=u-t$, escribir todas las ecuaciones que intervienen en el formulario de $fv=g$ donde $f$ $g$ coeficientes en $F[t]$ (cantidad $v^2$, siempre que aparece, es reemplazado por $t^2-1$ que está en $F[t]$) $\ldots$

¿Por qué podemos escribir todas las ecuaciones en la forma $fv=g$ donde $f$ $g$ coeficientes en $F[t]$ ?

$F[u, u^{-1}]$ se genera sobre $F$ como un anillo de $t$$v$, por lo tanto, cualquier ecuación en $F[u, u^{-1}]$ puede ser escrito como $p(t, v) = 0$ donde $p$ es un polinomio con coeficientes en $F$, pero $v^2 = t^2-1$, por lo que podemos organizar para $p$ tiene la forma $vf(t) - g(t)$$f, g \in F[t]$. y, a continuación, $p(r, t) = 0$ es equivalente a $fv = g$.