Si $x \neq 0,y \neq 0,$ entonces $x^2+xy+y^2$ es .....

Question

Me encontré con el siguiente problema que dice:

Si $x \neq 0,y \neq 0,$ entonces $x^2+xy+y^2$ es
1.Siempre positivo
2.Siempre negativo
3.cero
4.Unas veces positivas y otras negativas.

Tengo que determinar cuál de las opciones mencionadas es la correcta.

Ahora que $x \neq 0,y \neq 0$ Así que $ x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy > 0$ si $x,y$ son del mismo signo. Pero si $x,y$ son de distinto signo, no estoy seguro de la conclusión.

¿Puede alguien indicarme la dirección correcta? Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

Pista: $\displaystyle x^2+xy+y^2=y^2 \left( \left( \frac{x}{y} \right)^2+ \frac{x}{y} +1 \right)$ ; así que sólo tienes que estudiar el polinomio $P(z)=z^2+z+1$ .

Answer 2

$x^2+xy+y^2 = \frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2 >0$ cuando $x \ne 0$ y $y \ne 0$ .

Answer 3

¿Por qué no simplemente $x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2>0$ ?

Answer 4

Como usted dice, si $x,y$ tienen el mismo signo entonces: $x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy>0$ . Si $x,y$ tienen signos opuestos entonces $x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy>0$ .

Answer 5

Voy a publicar 2 maneras de resolver esto:

$(1)$ Si $x,y$ pertenecen sólo a números reales positivos:

Sabemos que $x^2 + y^2 \geq 2xy$ .

Por lo tanto, podemos decir que $x^2 + y^2 > xy$

Por lo tanto, aunque $xy$ es negativo $x^2 + y^2$ que es positivo, es siempre mayor que $xy$ haciendo la suma $x^2 + y^2 + xy$ siempre positivo.

$(2)$ Si $x,y$ pertenecen a los números reales:

$$x^2 + y^2 + xy$$

$$ = x^2 + 2(x)(\dfrac{y}{2}) + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{3y^2}{4}$$

$$={(x+\dfrac{y}{2})}^2 + \dfrac{3y^2}{4}$$ que siempre es positivo.

Espero que la respuesta esté clara.