Relación entre Nilpotent de la Matriz y de la Matriz con todas las cero diagonal factores.

Question

problemas de Álgebra Lineal HW, de repente me dio curiosidad acerca de la relación entre Nilpotent de la Matriz y de la matriz con todas las cero diagonal factores que $A_{11} = A_{22} = \cdots = A_{nn} = 0$

¿Nilpotent de la Matriz implica la matriz con todas las cero diagonal factores? ¿Qué acerca de converse? Supongo que podría ser iff relación. Podrías desarrollar más?

Muchas gracias.

Answer 1

Deje $A$ $n\times n$ matriz para algunos $n\times n$, sobre algunos algebraicamente cerrado de campo. El siguiente se tiene:

$$A \text{ is nilpotent }\iff A\text {'s only eigenvalue is }0.$$

Pregunta 1: ¿$A$nilpotent implica las entradas de su diagonal son todos los $0$ ?

De acuerdo con la anterior caracterización de nilpotency, absolutamente no.

Tome por ejemplo la matriz de $\begin{bmatrix} -3 & -1\\ 9 & 3\end{bmatrix}$. Es fácil comprobar que $\begin{bmatrix} -3 & -1\\ 9 & 3\end{bmatrix}^2=0_{2\times 2}$.

Pregunta 2: Es cualquier matriz con sólo $0$'s en la diagonal entradas necesariamente nilpotent?

De nuevo, no. Hay matrices en estas condiciones que no tienen ni siquiera el $0$ tiene un autovalor. Por ejemplo,$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$.

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Más se puede decir, pero depende de su conocimiento, que sea la pena decir o no. Como yo sé que todo se reduce a una matriz de la Forma Normal de Jordan:

Cualquier nilpotent matriz $n\times n$ es similar a la que algunos bloques de la diagonal de la matriz $ a$ {\begin{bmatrix} \color{blue}{J_1} & 0 &\dots &\dots & 0\\ 0 & \color{blue}{J_2} & 0 & \dots &0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 0\\ 0 & \dots & \dots & 0 & \color{blue}{ J_k}\\ \end{bmatrix}}_{n\times n},$$ for some $k\in \Bbb, N$. Where, for each $i\in \{1\ldots ,k\},\,J_i$ is a $m_i\times m_i$ matrix, for some $m_i\en \Bbb$ N, que se parece a

$$\begin{bmatrix}0& 1 &&& \\ & 0 & 1 &\huge 0& \\ & & \ddots & \ddots &\\ &\huge 0 && 0 &1 \\ &&& & 0 \\ \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}.$$

Answer 2

Por diagonal factores, ¿te refieres a elementos de la diagonal de la matriz? Si es así, está mal.

Ver Wikipedia para obtener más ejemplos, pero aquí hay uno:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$$

$$P = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{array} \right)$$

A continuación, vamos a $B=P^{-1} A P$,

$$B = \left( \begin{array}{cc} 10 & 4 \\ -25 & -10 \end{array} \right)$$

$A$ $B$ son nilpotent, y $A^2=B^2=0$.

El recíproco también es incorrecto, la siguiente matriz $C$ cero, con una diagonal de entradas, pero no es nilpotent, y en realidad $C^2=I$.

$$C = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$$