Para cualquier conjunto $X$ ¿existe un Hausdorff $Y$ y una familia disjunta $\{Y_x:x\in{X}\}$ de subconjuntos densos?

Question

Saluda

Quiero demostrar lo siguiente:

Para cualquier conjunto $X$ existe un espacio de Hausdorff $Y$ y una familia $\{Y_x:x\in{X}\}$ de subconjuntos disjuntos de $Y$ cada uno de ellos denso en $Y$ .

Quiero demostrar esta afirmación ya que, al demostrarla, puedo utilizarla para demostrar que cualquier espacio topológico es la imagen continua abierta de un espacio de Hausdorff.

He demostrado la afirmación, pero utilizando la lógica matemática; es decir, utilizando el teorema de la compacidad y el hecho de que la afirmación es cierta para finitos $X$ en algún conjunto ordenado, pero no sé de qué otra forma demostrarlo sin utilizar el teorema de la compacidad.

Agradecería mucho ver una demostración de esto, sin utilizar la lógica matemática.

Answer 1

Si $|X|\le 2^\omega$ se puede encontrar un espacio semejante en la recta real, siendo los subconjuntos densos traslaciones de $\Bbb Q$ .

Para más información $\{Q_\xi:\xi<2^\omega\}$ sea una partición de $\Bbb R$ en subconjuntos densos contables, sea $\kappa$ sea un cardinal suficientemente grande, sea $X_\xi=\Bbb R$ para $\xi<\kappa$ y que $Y=\square_{\xi<\kappa}X_\xi$ el producto caja de los espacios $X_\xi$ . Para cada $\varphi:\kappa\to 2^\omega$ deje $Y_\varphi=\{y\in Y:y_\xi\in Q_{\varphi(\xi)}\text{ for all }\xi<\kappa\}$ . Los conjuntos $Y_\varphi$ son disjuntos por pares y densos en $Y$ y hay $2^\kappa$ de ellos. Sólo tienes que elegir $\kappa$ lo suficientemente grande para que $2^\kappa\ge|X|$ e ignorar los conjuntos densos adicionales.

De forma más general, empecemos con cualquier espacio de Hausdorff $Z$ con subconjuntos densos disjuntos $D_0$ y $D_1$ . Para cada $x\in X$ deje $Z_x$ ser una copia de $Z$ y que $Y=\square_{x\in X}Z_x$ . Para $x\in X$ deje $$Y_x=\Big\{y\in Y:y_x\in D_1\text{ and }y_u\in D_0\text{ for all }u\in X\setminus\{x\}\Big\}\;;$$ entonces los conjuntos $Y_x$ son subconjuntos densos disjuntos por pares de $Y$ que es Hausdorff.

Answer 2

Creo que realmente se puede ejemplificar un espacio así.

1. Elija un conjunto arbitrario $X$ .
2. Ocupa el espacio $Y=X^\omega$ con cada copia de $X$ con topología discreta, y $Y$ con la topología habitual del producto de Tychonoff. Entonces $Y$ no sólo es Hausdorff, sino completamente regular (como producto de espacios completamente regulares).
3. Para cada $x\in X$ deje $Y_x$ es el conjunto de todas las secuencias con todos los términos iguales a $x$ .
4. Es fácil ver que $Y_x$ son disjuntos y cada uno es denso.

Mejor aún, creo que puedes elegir $Y$ para ser Hausdorff compacta, aunque la construcción es más complicada desde el punto de vista combinatorio.

1. Elija cualquier infinito $\kappa$ tal que $2^\kappa\geq\lvert X\rvert$ (por ejemplo, $\kappa=\lvert X\rvert$ ).
2. Ponga $Y=2^\kappa$ con topología de producto. $Y$ es Hausdorff compacta por el teorema de Tychonoff.
3. Ponte $Y$ una relación de equivalencia $\sim$ definido por $\sigma\sim \tau$ si $\sigma$ y $\tau$ coinciden en todos los ejes menos en finitos.
4. Obsérvese que cada clase de $\sim$ es de cardinalidad $\kappa<2^\kappa$ (porque sólo hay $\kappa$ subconjuntos finitos de $\kappa$ ), por lo que hay $2^\kappa\geq \lvert X\rvert$ de ellos.
5. Asignar a cada $x\in X$ una clase de equivalencia distinta $Y_x$ de $\sim$ .
6. $Y_x$ son disjuntos por definición, y es fácil demostrar que son densos.

Edición: como sugiere Nate Eldredge, hay otra forma más sencilla de obtener un ejemplo compacto de Hausdorff:

1. Tome por $\tilde X$ un espacio Hausdorff compacto de tamaño mínimo $\lvert X\rvert$ (por ejemplo, compactación de un punto o de Cech-Stone de $X$ con topología discreta, o $\lvert X\rvert+1$ como ordinal con topología de orden).
2. Tome por $Y$ el producto $\tilde X^\omega$ ; es de nuevo Hausdorff compacto.
3. Asignar a cada $x\in X$ un elemento distinto $x'\in \tilde X$ y luego poner por $Y_x$ el conjunto de todas las secuencias en $Y$ con todos menos finitamente muchos términos $x'$ .
4. Como en el primer ejemplo, $Y_x$ son disjuntos y densos.

En retrospectiva, pero otra forma para un Hausdorff compacto $Y$ sería simplemente tomar la compactificación Cech-Stone del $Y$ en el primer ejemplo con el mismo $Y_x$ (pero ésta requiere estar familiarizado con la compactación Cech-Stone, así que si la consideras más sencilla o no depende de ti).

Answer 3

Una respuesta utilizando la lógica matemática es la siguiente:

Sea $L=\{<\}\cup{\{P_x:x\in{X}\}},$ donde el $P_x$ son predicados unarios distintos. Para cada $x\in{X}$ deje $\varphi_x=\forall{y}\forall{z}(y<z\rightarrow\exists{w}(P_xw\wedge{y<w<z}))$ y para cualquier $x,y\in{X}$ con $y\neq{x}$ deje $\Delta_{x,y}=\forall{z}¬(P_xz\wedge{P_yz})$ . Sea $T=\{\varphi_x:x\in{X}\}\cup{\{\Delta_{x,y}:x,y\in{X}\wedge{x\neq{y}}\}},$ entonces $T$ es finitamente satisfacible, ya que $(\mathbb{Q},<)$ puede dividirse en $n$ subconjuntos densos para cualquier $n<\omega$ . Así pues, por el teorema de la compacidad existe un modelo $(M,<,P_x)_{x\in{X}}$ de $T$ por lo que el $P_x^{\mathcal{M}}$ son subconjuntos densos disjuntos de $(M,<)$ pero como las topologías de orden son Hausdorff, $(M,<)$ es nuestro espacio necesario.