Generadores de un finitely libres generados por el módulo a través de un anillo conmutativo

Question

Deje $L$ ser un finitely libres generados por el módulo a través de un anillo conmutativo $A$. Deje $e_1, \dots, e_n$ ser una base de $L$. Deje $x_1,\dots,x_m$ ser generadores de $L$. A continuación,$m \ge n$? Si $m = n$, $x_1,\dots,x_m$ es una base de $L$?

Answer 1

Si $x_1,\ldots,x_m$ generar $L$, luego de obtener una surjective $A$-mapa del módulo $A^m\rightarrow L$. Tensoring con $k(\mathfrak{m})=A/\mathfrak{m}$, $\mathfrak{m}$ un ideal maximal, le da un surjection de una $m$-dimensional $k(\mathfrak{m})$-espacio vectorial a una $n$-dimensional $k(\mathfrak{m})$-espacio vectorial, por lo $m\geq n$.

Si $n=m$, luego de obtener una surjective endomorfismo $L\rightarrow L$, y cualquier surjective endomorfismo de un número finito de $A$-módulo es inyectiva. Así que en este caso los elementos que forman una base.

Answer 2

Me gustaría probar la primera afirmación sin utilizar el axioma de elección. Supongamos $m < n$. A continuación,$\bigwedge^n L = 0$. Esto es una contradicción, porque $\bigwedge^n L$ es un módulo de rango $1$.