El Primer Orden De Concatenación

Question

Considere el siguiente procedimiento.

Dado un entero $n \geq 2$, obtener canónica de la factorización en primos de $n$, es decir,$\prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$. Tomar los distintos factores de $p_i$ y lista en orden ascendente. Concatenar en un nuevo entero. Es decir, el 2 y el 5 se convierte en 25, 3 y 7 se convierte en el 37, y así sucesivamente. Si el construido entero es primo, detener, de lo contrario, este factor entero y repita el proceso hasta que el resultado es primo. A falta de un nombre mejor, voy a llamar al número de veces que este proceso se debe repetir hasta que el resultado es primo de la "primer concatenación orden".

Claramente los números primos tienen el primer concatenación de orden 0, ya que el proceso se detiene de inmediato.

La aplicación de este proceso a los enteros de 2 a 30 de los rendimientos de la siguiente lista:

0 0 1 0 1 0 1 1 2 0 1 0 2 4 1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 4 1 2 0 2

Mi amigo generado la salida de un montón de números. La lista se puede ver por la entrada de hasta 329 aquí. La entrada, el primer el proceso se detiene, y la orden dada. La mayoría de las órdenes que parecen ser de 5 o menos, pero hay excepciones como la de 91, que tiene orden de 64, y 186, que tiene orden de 63. La entrada 330 tendrá pedido de más de 66.

Mi pregunta principal es: este proceso Está garantizado para detener por cualquier entrada dada?

Otros auxiliares preguntas son: ¿esta ya tiene un nombre? Puede cualquier persona ser demostrado?

Answer 1

De forma heurística no debe ser raro que la secuencia a crecer mucho: Dado un típico $n$, la probabilidad de que para un divisor primo $p$ $n$ realmente tenemos $p^2\mid n$ es bastante baja (es decir,$\frac1p$), excepto para el primer par de números primos. Si $p$ $k$- primer dígito después de la "contribución" de $p$ $n$es por lo tanto un factor de $p<10^k$, mientras que su contribución a la siguiente término en la secuencia es otra de las $k$ dígitos, por lo que , al menos, un factor de $10^k$. Sorprendentemente, incluso para $p=2$, donde la ocurrencia de $4\mid n$ o $8\mid n$ no es tan raro, la contribución a $n$ aún $<10$ y que para el siguiente término es $>10$.