$S_{n+1}$ no isomorfo a un subgrupo de $S_n \times S_n$

Question

Me han pedido que demostrar que no es inyectiva homomorphism de$S_{n+1}$$S_n \times S_n$$n\ge4$.

Me parece que este siga en el hecho de que $S_{n+1}$ no puede ser reconocido como un producto directo de dos de sus subgrupos, esencialmente debido a que sólo tiene un subgrupo normal. Hay alguna forma de hacerlo a través de la orden de consideraciones, ya que este fue mi primer impulso al ver el problema.

Answer 1

Desde $n \geq 4$, la única normal subgrupos de $S_{n+1}$ $\{(1)\}$, $A_{n+1}$ y $S_{n+1}$. Esto se desprende de la simplicidad de $A_{n+1}$. Poner $M=S_n \times \{(1)\}$. A continuación,$M \lhd G:=S_n \times S_n$,$|M|=n!$. Ver el $K=M \cap S_{n+1}$. Este es un subgrupo normal de $S_{n+1}$, de donde $K$ es igual a una de las tres opciones mencionadas antes:
Si $K=(1)$,$MS_{n+1}/M \cong S_{n+1}$. De ello se desprende que $(n+1)! \mid |G/M|=n!$, lo cual es absurdo.
Si $K=A_{n+1}$,$\frac{(n+1)!}{2} \mid |M|=n!$, que no es el caso.
Si $K=S_{n+1}$, $S_{n+1} \subset M$ y tendríamos $(n+1)! \mid n!$, de nuevo una contradicción.