No-lineal de la ecuación diferencial parcial

Question

Me gustaría saber si hay algún método específico -aparte de los números - para la búsqueda de soluciones de una no-lineal de la PDE de la forma

$$\nabla \times \mathbf{A} = \pm\lambda\mathbf{A} \etiqueta{1}$$

en virtud de la restricción

$$\nabla\lambda \times \mathbf{A} = 0 \etiqueta{2}$$

donde λ es un desconocido constante real o desconocido de la función escalar ($\lambda(\mathbf{r})$) de un vector variable en $\mathbb{R}^3$ y $\mathbf{A}$ es un campo de vectores en el mismo espacio, que puede ser restringido en una curva del colector. Este problema se produce en eigenrotation flujos de Euler de fluidos), y su aplicación en Paralelo Eléctrico y Magnético de los componentes de los asociados de Maxwell campos. Hay una gran cantidad de literatura sobre este problema, que comienza con Eugenio Beltrami al final del siglo 19 y Viktor Trkal en el comienzo del siglo 20. Aplicaciones recientes en el plasma y E/M comenzó con Chandrsekhar, Kendal, Lakhtakia y otros para el caso de solenoidal campos ($\nabla\cdot\mathbf{A} = 0$). En la no-solenoidal caso, tomando la divergencia de (1) resultados en la lhs a

$$\nabla\cdot\mathbf{A} = -\nabla(\log\lambda)\cdot\mathbf{A} \etiqueta{3}$$

La condición (2) tiene la extraña característica de que la enésima aplicación de la Curvatura del operador resultados en el más simple de la estructura del grupo (aunque el problema no es lineal!)

$$\nabla\times\nabla\times ...\nabla \mathbf{A} = {(\pm)}^n{\lambda}^n\mathbf{A} \etiqueta{4}$$

donde n es el número de aplicación de la Curvaturadel operador. El asociado no lineal de la ecuación de onda de entonces tienen un "origen" término de la forma $\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})$. En la primera parte, parece que la única solución en un espacio Euclidiano debe tener constante λ pero en el caso de la curva de colectores con una conexión el problema no es trivial.

Addendum (07/05/2011)

Respecto de la generalidad de (4) en relación a eigenrotation campos que no son Beltrami cabe mencionar que en una opción más natural parece tener la forma

$$\nabla\lambda \times \mathbf{A} \propto \mathbf{A}_{\asesino} = \kappa(\mathbf{r})\bar{\mathbf{R}} \mathbf{A} \etiqueta{5}$$

donde la rhs denota una adecuada proyección en el plano de los $\nabla\lambda$ y $\mathbf{A}$ $\kappa$ una proporcionalidad escalar y $\bar{\mathbf{R}}$ la rotación relativa de la matriz.

En tal caso se obtiene

$$\nabla\times\nabla\times\mathbf{A} = (\kappa\bar{\mathbf{R}} \pm \lambda)\mathbf{A} \etiqueta{6}$$

Las aplicaciones posteriores de la Curvatura operador no funciona de la misma como en (4) a menos que uno pueda demostrar que existe una Escalera de funciones {$\kappa_{i}$} todas satisfacer la condición (2) o (5) o, al menos, $\kappa = c\lambda$.

Addendum: conexión w. La Ecuación De Onda (08/05/2011)

Es de destacar que furthe análisis de las fuentes adicionales de plazo $\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})$ usando conocido el vector de identidades como se encuentra en las tablas (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities#Properties) resultados en dos "convección" como derivados. El uso de la doble curvatura también podemos obtener a partir de (1) o (6)

$$\nabla^2\mathbf{A} + \epsilon(\mathbf{r})\mathbf{A} = \mathbf{J} \etiqueta{7}$$

cuando la fuente tiene la forma explícita

$$\mathbf{J} = (\nabla\phi\cdot\nabla)\mathbf{A} + (\mathbf{A}\cdot\nabla)\nabla\phi \etiqueta{8}$$

con $\lambda = e^{-\phi}$ y $\epsilon(\mathbf{r})$ es $\pm\lambda(\mathbf{r})$ si la condición (2) se satisface o $(1+\lambda)\kappa\bar{\mathbf{R}} \pm \lambda$ si la condición (5) se mantiene. La situación ahora se asemeja a un vector de potencial en un material con una complicada variable de índice de refracción y, posiblemente, una muy inusual rotación óptica (la última no puede ser realizable en una situación real aunque, debido a las restricciones físicas).

Answer 1

Los vectores propios de la curvatura del operador $$\nabla \times {\bf A}$$ en coordenadas Cilíndricas son las funciones de Bessel $J_0( r)$, tendrás que enchufarlo esta en ver cómo $a$ depende de $\lambda$. Pero todo esto supone que $\lambda$ es una constante. En su problema, usted no tiene $\lambda$ constante, pero en casos especiales son a veces útiles.

Answer 2

A menos que me estoy perdiendo algo, la restricción (2)

$\nabla \lambda \times \mathbf{A} = 0$

significa que el vector de campo debe ser de la forma

$\mathbf{A} = f \nabla \lambda$

donde f es una función escalar. La inserción en (1) los rendimientos

$\nabla f \times \nabla \lambda = f \lambda \nabla \lambda$.

Las únicas soluciones posibles son $\nabla\lambda = 0$, entonces $\lambda$ tiene que ser una constante. Junto con la otra respuesta acerca de los vectores propios de la curvatura del operador, tal vez así se resuelve el problema.

Answer 3

Sugerencia:

Dado

$$ \nabla \times \textbf{A} = \pm \lambda \textbf{Un}. \etiqueta{1} $$

A continuación, obtenemos

$$ \nabla \times \Big( \nabla \times \textbf{Un} \Big) = \pm \lambda \nabla \times \textbf{A}, \etiqueta{2} $$

de dónde

$$ \nabla \Big( \nabla \cdot \textbf{Un} \Big) - \nabla^2 \textbf{Un} = \lambda^2 \textbf{A}, \etiqueta{3} $$

por lo tanto

$$ \nabla \times \left[ \nabla \Big( \nabla \cdot \textbf{Un} \Big) - \nabla^2 \textbf{Un} \right] = \nabla \times \left[ \lambda^2 \textbf{Un} \right], \etiqueta{4} $$

así

$$ \underbrace{\nabla \times \left[ \nabla \Big( \nabla \cdot \textbf{Un} \Big) \right]}_{\displaystyle 0} = \nabla \times \left[ \lambda^2 \textbf{A} - \nabla^2 \textbf{Un} \right], \etiqueta{5} $$

rendimiento

$$ \nabla \times \left[ \lambda^2 \textbf{A} - \nabla^2 \textbf{Un} \right] = 0. \etiqueta{6} $$

Pero

$$ \nabla \times \textbf{V} = 0 \Rightarrow \textbf{V} = \nabla \phi \etiqueta{6} $$

así

$$ \nabla^2 \textbf{A} - \lambda^2 \textbf{A} = \nabla \Phi. $$

La pregunta es ¿cómo resolver este...