La integral elíptica $\frac{K'}{K}=\sqrt{2}-1$ es conocido en forma cerrada?

Question

Alguien ha calculado en la forma cerrada de la integral elíptica de primera especie $K(k)$ al $\frac{K'}{K}=\sqrt{2}-1$?

Traté de buscar en la literatura, pero nada ha resultado. Esta página http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html cita varios casos $\frac{K'}{K}=\sqrt{r}$, cuando se $r$ es un entero.

Actualización: Esta pregunta ha sido respondida aquí.

Answer 1

Si,

$$\frac{K'(k)}{K(k)}=\sqrt{2}-1$$

entonces (en Mathematica o Walpha sintaxis),

$$k = \sqrt{\lambda(\tau)}=\sqrt{\text{ModularLambda[}\tau]}=0.9959420044834\dots$$

donde $\tau = \sqrt{-2}-\sqrt{-1},$ $\lambda(\tau)$ es la elíptica función lambda. Ver esto relacionadas con la respuesta para más detalles.