Prueba $\int\cos^n x \ dx = \frac{1}n \cos^{n-1}x \sin x + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x \ dx$

Question

Estoy tratando de probar $$\int\cos^n x \ dx = \frac{1}n \cos^{n-1}x \sin x + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x \ dx$$

Este problema es un clásico, pero parece que me falta un paso o la comprensión de dos pasos que expondré a continuación.

$$I_n := \int\cos^n x \ dx = \int\cos^{n-1} x \cos x \ dx \tag{1}$$

Primera pregunta : por qué reescribir el original en lugar de integrar inmediatamente por partes de $\int \cos^n x \ dx$ ?

Integrar por partes con $$u = \cos^{n-1} x, dv = \cos x \ dx \implies du = (n-1)\cos^{n-2} x \cdot -\sin x, v = \sin x$$

lo que lleva a

$$I_n = \sin x \ \cos^{n-1} x +\int\sin^2 x (n-1) \ \cos^{n-2} x \ dx \tag{2}$$

Desde $(n-1)$ es una constante, podemos echarla delante de la integral:

$$I_n = \sin x \ \cos^{n-1} x +(n-1)\int\sin^2 x \ \cos^{n-2} x \ dx\tag{3}$$

Puedo transformar la integral un poco porque $\sin^2 x + cos^2 x = 1 \implies \sin^2 x = 1-\cos^2 x$

$$I_n = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1)\int(1-\cos^2 x) \ \cos^{n-2} x \ dx \tag{4}$$

Según la Wikipedia, como se ha señalado ici Esto se simplifica a:

$$I_n = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \ dx - (n-1)\int(\cos^n x) \ dx \tag{5}$$

Pregunta 2 : ¿Cómo simplificaron la integral de $\int(1-\cos^2 x) \ dx$ a $\int(\cos^n x) \ dx$ ?

Asumiendo el conocimiento de la ecuación 5, veo cómo reescribirla como

$$I_n = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} x - (n-1) I_{n} \tag{6}$$

y resolver para $I_n$ . Había intentado explotar el hecho de que $$\cos^2 x = \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} $$

y tratando de lidiar con $\int 1 \ dx - \int \frac{1}{2} \cos (2x) + \frac{1}{2} \ dx$

que me dejó con $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x)$ después de integrar esas piezas. Poniendo todo junto tengo:

$$I_n = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} x \left(-(n-1) (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x) \right) \tag{7}$$

pero no estoy seguro de cómo escribir los últimos términos como una expresión de $I_{something}$ para que coincida con la fórmula de reducción habitual de

$$\int\cos^n x \ dx = \frac{1}n \cos^{n-1}x \sin x + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x \ dx$$

Answer 1

¿Qué tal si se verifica utilizando la diferenciación? Se nos pide que mostremos $$\int_0^x \cos^n t dt = \frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int^x_0 \cos^{n-2} t dt + C$$ para alguna constante $C$ . Esto es cierto si las derivadas de cada lado son iguales.

Diferenciando el lado derecho, obtenemos utilizando la regla del producto $$RHS = \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} x (-\sin x) \sin x + \frac{1}{n} \cos^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} x,$$ y luego combinar, $$RHS = \frac{n-1}{n} (1-\sin^2 x) \cos^{n-2} x + \frac{1}{n} \cos^n x$$ y finalmente usando $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ , $$RHS = \frac{n-1}{n}\cos^n x+\frac{1}{n} \cos^nx = \cos^n x,$$ que es lo que queremos.

Answer 2

Supongo que tu problema es el cuarto paso:

$$I_n = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1)\int(1-\cos^2 x) \ \cos^{n-2} x \ dx \tag{4}$$

Tenga en cuenta que $$\begin{align}\int(1-\cos^2 x) \ \cos^{n-2} x \ dx & = \int \cos^{n-2} x \ dx-\int \cos^2 x\; \cos^{n-2} x \ dx \\ & =\int \cos^{n-2} x \ dx-\int \cos^{n} x \ dx \end{align}$$

por lo que obtenemos

$$\begin{align}I_n & = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1)\int \cos^{n-2} x \ dx-(n-1)\int \cos^{n} x \ dx \\ I_n & = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n \end{align}$$

o

$$nI_n = \sin x \ \cos^{n-1} x + (n-1)I_{n-2}$$

$$I_n =\frac{ \sin x \ \cos^{n-1} x}n + \frac{n-1}nI_{n-2}$$