Dé un ejemplo de un espacio de Hausdorff no compacto tal que $\Delta$ está cerrado pero $Y$ no es Hausdorff

Question

Supongamos que $X$ es un espacio Hausdorff compacto y $f : X \to Y$ sea un mapa cociente.

Entonces es bien sabido que $Y$ es Hausdorff si $\Delta =\{(x,y) \mid f(x)=f(y) \}$ está cerrado en $X \times X$ . Por ejemplo, se puede encontrar una prueba de esto aquí . Estoy buscando un contraejemplo si $X$ no es compacto, es decir

Dé un ejemplo (preferiblemente no artificial) de un espacio de Hausdorff no compacto $X$ tal que $\Delta$ está cerrado en $X \times X$ pero $Y$ no es Hausdorff.

Answer 1

Como sugiere t.b. en los comentarios enlazados por Justin, se puede tomar cualquier espacio de Hausdorff $X$ que no es regular y por tanto contiene un punto $x$ que no puede separarse de algún conjunto cerrado $A$ en $X$ . Si $q: X \to X/A$ es el mapa cociente, entonces la relación de equivalencia inducida por $q$ es el conjunto $\Delta_X \cup (A\times A)$ en $X\times X$ que se cierra como $X$ es Hausdorff y $A$ está cerrado. Sin embargo, $X/A$ no es Hausdorff, ya que para $\{x\}$ y $A$ para tener vecindades disjuntas, tendría que haber vecindades disjuntas alrededor de $x$ y $A$ en $X$ .
Tenga en cuenta que para cualquier mapa $q: X \to Y$ la preimagen de $\Delta_Y \subseteq Y\times Y$ en $q\times q$ es la relación $\{(x,x') \mid q(x)=q(x')\}$ . Si este conjunto es cerrado y $q\times q$ es un mapa cociente, entonces $\Delta_Y$ está cerrado en $Y \times Y$ . Como en el ejemplo anterior no es así, también tenemos una situación en la que el cuadrado $q\times q$ del mapa cociente $q$ no es un mapa cociente.

Para un ejemplo concreto, consideremos el espacio $X$ cuyo conjunto subyacente es $\Bbb R$ y cuya topología es la más pequeña que contiene la topología euclidiana y tiene $K = \{1, 1/2, 1/3, \dots\}$ como un conjunto cerrado. Los conjuntos abiertos en $X$ son de la forma $U \cup V\setminus K$ , donde $U$ y $V$ están abiertos en la topología estándar. Dado que para cualquier conjunto abierto $U$ alrededor de $0$ y cualquier conjunto abierto $V$ alrededor de $K$ , $U\setminus K$ se cruza con $V$ el espacio no es regular (véase también mi respuesta para La topología en $X/{\sim}\times X/{\sim}$ no es inducido por $\pi\times\pi$ . )