Demostrando que $T:V\to V$ tiene un vector cíclico si todos sus eigenspaces tienen dimensión uno.

Question

Sea $V$ ser un $n$ -espacio vectorial complejo y $T:V\to V$ . Supongamos que $$\{v\in V: Tv = \lambda v\}$$ tiene dimensión $1$ o $0$ para todos $\lambda\in \mathbb{C}$ . Demuestre que existe algún $w\in V$ tal que $\{w,Tw,\dots, T^{n-1}w\}$ es linealmente independiente.

He intentado utilizar las formas canónicas para responder a esta pregunta, pero no creo que sea el camino correcto.

Answer 1

Sugerencias :

• Basta con demostrar que el polinomio mínimo de $m(x)$ de $T$ es igual al polinomio característico $p(x)$ de $T$ que tiene grado $n$ .
• Si $\lambda$ es un valor propio de $T$ entonces la multiplicidad de $\lambda$ en $m$ es igual al tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a $\lambda$ .
• Si $\lambda$ es un valor propio de $T$ entonces la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es decir, la multiplicidad de $\lambda$ en $p$ es igual a la suma de los tamaños de los bloques de Jordan correspondientes a $\lambda$ .
• Si $\lambda$ es un valor propio de $T$ entonces el número de bloques de Jordan correspondientes a $\lambda$ es igual a la multiplicidad geométrica de $\lambda$ que en su problema es $1$ para todos los valores propios $\lambda$ .

Answer 2

He suprimido mi respuesta porque me gusta mi enfoque explícito. Está claro que no es una respuesta completa, sino sólo un caso especial.

Si sabes que la matriz es diagonalizable, entonces todas las entradas diagonales son diferentes. Ahora prueba el vector $(1,\dots,1)$ contra ella en esta nueva base y se ve que la matriz columna de este conjunto de vectores no es más que la matriz de Vandermonde, que es invertible.

Para el caso general, véase la respuesta anterior