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Anillo homomorphisms que asignar una unidad a una unidad de mapa la unidad a la unidad?

esta es la tercera parte de una pregunta que me he estado trabajando de Hungerford del Álgebra. Es el ejercicio 15 en la sección primera del Capítulo III.

$(c)$ Si $f\colon R\to S$ es un homomorphism de los anillos con la identidad y la $u$ es una unidad en $R$ tal que $f(u)$ es una unidad en $S$,$f(1_R)=1_S$$f(u^{-1})=f(u)^{-1}$.

Veo cómo $f(u^{-1})=f(u)^{-1}$ sigue de $f(1_R)=1_S$, porque si eso es así, entonces $$f(1_R)=f(uu^{-1})=f(u^{-1}u)=1_S\implica f(u)f(u^{-1})=f(u^{-1})f(u)=1_S. $$ Parece fácil, pero no puedo gestionar para mostrar $f(1_R)=1_S$. Tenía la esperanza de que alguien podría tal vez me dé una pista sobre cómo proceder en mostrar la primera parte? Gracias.

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tooshel Puntos 475

Usted puede cancelar $f(u)$ en la ecuación de $f(u)=f(1_R)f(u)$.

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