esta es la tercera parte de una pregunta que me he estado trabajando de Hungerford del Álgebra. Es el ejercicio 15 en la sección primera del Capítulo III.
$(c)$ Si $f\colon R\to S$ es un homomorphism de los anillos con la identidad y la $u$ es una unidad en $R$ tal que $f(u)$ es una unidad en $S$,$f(1_R)=1_S$$f(u^{-1})=f(u)^{-1}$.
Veo cómo $f(u^{-1})=f(u)^{-1}$ sigue de $f(1_R)=1_S$, porque si eso es así, entonces $$f(1_R)=f(uu^{-1})=f(u^{-1}u)=1_S\implica f(u)f(u^{-1})=f(u^{-1})f(u)=1_S. $$ Parece fácil, pero no puedo gestionar para mostrar $f(1_R)=1_S$. Tenía la esperanza de que alguien podría tal vez me dé una pista sobre cómo proceder en mostrar la primera parte? Gracias.
