Interesante técnica de diferenciación

Question

@HansEngler Dejó la siguiente respuesta a esta pregunta con respecto a las "malas matemáticas" que funcionan,

He aquí otro ejemplo clásico de cálculo de primer año:

Encuentre $\frac{d}{dx}x^x$ .

Alice dice "esto es como $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ por lo que la respuesta es $x x^{x-1} = x^x$ ." Bob dice "no, esto es como $\frac{d}{dx}a^x = \log a \cdot a^x$ por lo que la respuesta es $\log x \cdot x^x$ ." Charlie dice "si no estás seguro, suma los dos términos, así obtendrás un crédito parcial".

La respuesta $\frac{d}{dx}x^x = (1 + \log x)x^x $ resulta ser correcta.

En este comentario @joriki afirma que no se trata de "malas matemáticas", sino de una técnica legítima,

Se obtiene la derivada de cualquier expresión con respecto a $x$ como las sumas de todas las derivadas con respecto a las instancias individuales de $x$ manteniendo constantes otras instancias.

Nunca antes había visto una técnica de este tipo, así que naturalmente la probé con algunos ejemplos, entre ellos $\frac{d}{dx} \left( x^{ \sin x}\right)$ etc. y proporcionó el resultado correcto. Se plantearon las tres preguntas siguientes,

$ \ \ $ 1. ¿Cuál es la prueba de su validez?
$ \ \ $ 2. ¿Hay algún ejemplo en el que esta técnica supere a los métodos estándar?

Answer 1

Mira $y = f(u(x),v(x))$ : $$\frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{du}{dx}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dx}$$ Ahora, tenga en cuenta que $x^{\sin x}$ se puede escribir como: $$y=x^{\sin x} = f(x,\sin x), \ f(u,v) = u^v$$ Pues eso: $$\frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{du}{dx}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dx}= vu^{v-1} \cdot\frac{du}{dx} + \log u \cdot u^v \cdot\frac{dv}{dx}$$ De hecho, esto es válido para cualquier número de términos (ya que también lo es la regla de la cadena), donde cada vez sólo miramos la derivada por $x$ de uno solo de los términos, multiplicarlos por la derivada "interna" y sumarlos todos.

Answer 2

Me basé en algo similar a esto en un artículo publicado. Hay una identidad que, en el caso concreto en que el número de variables independientes es $3$ , dice \begin{align} & \phantom{{}=} \frac{\partial^3}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} e^y \\[10pt] & = e^y\left(\frac{\partial^3 y}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + \frac{\partial^2 y}{\partial x_1\,\partial x_2}\cdot\frac{\partial y}{\partial x_3} + \frac{\partial^2 y}{\partial x_1\,\partial x_3}\cdot\frac{\partial y}{\partial x_2} + {}\right. \\[10pt] & \left.\phantom{{}= e^y\quad{}} + \frac{\partial^2 y}{\partial x_2\,\partial x_3}\cdot\frac{\partial y}{\partial x_1} + \frac{\partial y}{\partial x_1}\cdot\frac{\partial y}{\partial x_2}\cdot\frac{\partial y}{\partial x_3} \right) \end{align}

La cuestión es que hay un término para cada partición del conjunto de variables. Una vez demostrado esto, se puede decir que $$ \frac{d^3}{dx^3} e^y = e^y\left( \frac{d^3 y}{dx^3} + 3\frac{d^2y}{dx^2}\cdot\frac{dy}{dx} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \right), $$ simplemente diciendo que es el caso especial en el que las tres variables son iguales. La demostración es la misma, pero es más clara cuando primero se tratan las variables como distinguibles. Cuando se escribe de esa forma, se puede ver que sólo hay un término para cada partición del conjunto, y todos los coeficientes son $1$ para que los coeficientes de la forma con términos indistinguibles tengan una interpretación combinatoria como el número de particiones de conjuntos correspondientes a una partición entera dada.

Del mismo modo \begin{align} & {}\qquad\frac{\partial^3}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\[10pt] & = u\frac{\partial^3 v}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + \frac{\partial u}{\partial x_1}\cdot\frac{\partial^2 v}{\partial x_2\,\partial x_3} + \frac{\partial u}{\partial x_2}\cdot\frac{\partial^2 v}{\partial x_1\,\partial x_3} + \frac{\partial u}{\partial x_3}\cdot\frac{\partial^2 v}{\partial x_1\,\partial x_2} \\[10pt] & \phantom{{}=} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_1\,\partial x_2}\cdot\frac{\partial v}{\partial x_3} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_1\,\partial x_3}\cdot\frac{\partial v}{\partial x_3} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2\,\partial x_3}\cdot\frac{\partial v}{\partial x_1} + \frac{\partial^3 u}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v \end{align} Esta vez, hay un plazo para cada subconjunto del conjunto de variables. Cada coeficiente es $1$ . Entonces uno puede hacer que todas las variables sean indistinguibles, y juntar términos similares, y entonces cada coeficiente es el número de subconjuntos de un tamaño especificado.

Answer 3

Siento discrepar con el diferencial sugerido de la x a la potencia de x. El resultado se expresaría mejor utilizando ln x o el logaritmo en base e de x. Ie

d/dx(x ^x) = x ^x (ln x + 1)

Si se utiliza log(se cree que está en base 10), el resultado se expresará como

d/dx(x ^x) = x^x ln10(log x + log e)

Todos los problemas de esta forma pueden resolverse tomando el logaritmo o el ln de ambos lados y diferenciando implícitamente con respecto a x