TL;DR no me parece bien es posible definir una definición frecuentista de probabilidad consistente con la prueba de Kolmogorov marco que no es completamente circular (es decir, en el sentido de la lógica circular).
No es demasiado largo, por lo que he leído: quiero hablar de lo que yo veo como algunos posibles problemas con el candidato a la definición frecuentista de probabilidad $$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n} $$ First, $n_A$ sólo se puede razonablemente interpretarse como una variable aleatoria, por lo que la expresión anterior no está definido con precisión en un sentido riguroso. Necesitamos especificar el modo de convergencia para esta variable aleatoria, casi seguramente, en probabilidad, en la distribución, en la media, o en la media de los cuadrados.
Pero todas estas nociones de convergencia requieren una medida de la probabilidad de espacio a ser definida a ser significativo. La intuitiva elección, por supuesto, sería elegir la convergencia casi segura. Este tiene la característica de que el límite debe existir pointwise excepto en un evento de medida cero. Lo que constituye un conjunto de medida cero coincidirá para cualquier familia de medidas que son absolutamente continua con respecto a cada uno de los otros -- esto nos permite definir una noción de casi seguro de que la convergencia de lo anterior límite riguroso, mientras que todavía siendo algo agnóstico acerca de lo que la medida subyacente para la medibles espacio de eventos (es decir, porque podría ser cualquier medida absolutamente continua con respecto a algunos elegidos medida). Esto podría evitar la circularidad en la definición que surgiría de la fijación de una medida dada de antemano, dado que esta medida podría (y en el test de Kolmogorov marco usualmente es) define como la "probabilidad".
Sin embargo, si estamos utilizando casi seguro de convergencia, entonces eso significa que estamos confinamiento de los mismos a la situación de la fuerte ley de los grandes números (en adelante SLLN). Permítanme decir que el teorema (como se da en la p. 133 de Chung) por el bien de la referencia aquí:
Deje $\{X_n\}$ ser una secuencia de independientes, idénticamente distribuidas variables aleatorias. Entonces tenemos $$ \mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s. $$ where $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$.
Así que digamos que tenemos un espacio medible $(X, \mathscr{F})$ y queremos definir la probabilidad de algún evento $A \in \mathscr{F}$ con respecto a algunos de la familia de mutuo absolutamente continuas de probabilidad medidas de $\{\mu_i\}_{i \in I}$. A continuación, ya sea por la prueba de Kolmogorov Extensión del Teorema de o Ionescu Tulcea Extensión del Teorema (creo que tanto trabajo), podemos construir una familia de producto de espacios de $\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$, uno para cada una de las $\mu_i$. (Tenga en cuenta que la existencia de infinitos producto de los espacios que es una conclusión de la prueba de Kolmogorov del teorema requiere la medida de cada espacio a ser $1$, por lo tanto, por ahora estoy restringiendo a la probabilidad, en lugar de arbitrario, de medidas). A continuación, defina $\mathbb{1}_{A_j}$ a ser el indicador de la variable aleatoria, es decir, que es igual a $1$ si $A$ se produce en el $j$th copia y $0$ si no lo hace, en otras palabras $$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ Then clearly $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1 $ (where $\mathbb{E}_i$ denotes expectation with respect to $\mu_i$), so the strong law of large numbers will in fact apply to $(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$ (because by construction the $\mathbb{1}_{A_j}$ are identically and independently distributed - note that being independently distributed means that the measure of the product space is multiplicative with respect to the coordinate measures) so we get that $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s. $$ and thus our definition for the probability of $Un$ with respect to $\mu_i$ should naturally be $\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$.
Me acabo de dar cuenta, sin embargo, que aunque la secuencia de variables aleatorias $\frac{n_A}{n}$ converge casi seguramente con respecto a $\mu_{i_1}$ si y sólo si converge casi seguramente con respecto a $\mu_{i_2}$, (donde $i_1, i_2 \in I$) que no significa necesariamente que va a converger hacia el mismo valor; de hecho, la SLLN garantías de que no va a menos $\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$ lo cual no es cierto de manera genérica.
Si $\mu$ es de alguna forma "canónica suficiente", digamos como la distribución uniforme de un conjunto finito, entonces tal vez esto funciona muy bien, pero realmente no se dan ninguna de nuevos conocimientos. En particular, para la distribución uniforme, $\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$, es decir, la probabilidad de $A$ es simplemente la proporción de puntos o sucesos elementales en $X$ que pertenecen a $A$, que de nuevo parece algo circular a mí. Para una variable aleatoria continua no veo cómo podríamos estar de acuerdo en un "canónica" elección de $\mu$.
I. e. parece que no tiene sentido definir la frecuencia de un evento como la probabilidad de que el evento, pero no lo parezca tiene sentido definir la probabilidad de que el evento sea la frecuencia (al menos sin ser circular). Esto es especialmente problemático, ya que en la vida real no sabemos de verdad lo que la probabilidad es; tenemos que estimar.
También tenga en cuenta que esta definición de la frecuencia para un subconjunto de un espacio medible depende del elegido medida de la probabilidad de espacio; por ejemplo, no es producto de la medida de countably muchas copias de $\mathbb{R}$ dotado con la medida de Lebesgue, ya $\mu(\mathbb{R})=\infty$. Del mismo modo, la medida de la $\prod_{j=1}^n X$ utilizando el canónica de producto medida es $(\mu(X))^n$, que sopla hasta el infinito si $\mu(X) >1$ o llega a cero si $\mu(X) <1$, es decir, la prueba de Kolmogorov y Tulcea la extensión de teoremas son muy especiales resultados peculiar de la probabilidad de medidas.
