$m$ es entero positivo,
$n$ es entero no negativo.
$$f_n(x)=\frac {d^n}{dx^n} (\tan ^m(x))$$
$P_n(x)=f_n(\arctan(x))$
Me gustaría encontrar los polinomios que se definen como más arriba
$P_0(x)=x^m$
$P_1(x)=mx^{m+1}+mx^{m-1}$
$P_2(x)=m(m+1)x^{m+2}+2m^2x^{m}+m(m-1)x^{m-2}$
$P_3(x)=(m^3+3m^2+2m)x^{m+3}+(3m^3+3m^2+2m)x^{m+1}+(3m^3-3m^2+2m)x^{m-1}+(m^3-3m^2+2m)x^{m-3}$
Me pregunto cómo encontrar la fórmula general de la $P_n(x)$?
También me gustaría saber si alguno ortogonal relación puede ser encontrado para que los polinomios o no?
Gracias por las respuestas
EDITAR:
He demostrado Robert Isreal de generación de función. Me gustaría compartir.
$$ g(x,z) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \bronceado^m(x) = \bronceado^m(x+z) $$
$$ \frac {d}{dz} (\tan^m(x+z))=m \tan^{m-1}(x+z)+m \tan^{m+1}(x+z)=m \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \tan^{m-1}(x)+m \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \tan^{m+1}(x)= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} (m\tan^{m-1}(x)+m\tan^{m+1}(x))=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} (\dfrac{d}{dx}(\tan^{m}(x)))=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} (\tan^{m}(x))=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} (\tan^{m}(x))$$
$$ \frac {d}{dz} ( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \bronceado^m(x) )= \sum_{n=1}^\infty \dfrac{z^{n-1}}{(n-1)!} \dfrac{d^n}{dx^n} \bronceado^m(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{z^{n-1}}{(n-1)!} \dfrac{d^n}{dx^n} \bronceado^m(x)=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{z^{k}}{k!} \dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} \bronceado^m(x)$$
También tengo entendido que puede ser escrito para cualquier función, como se muestra a continuación .(Muchas gracias a Robert Isreal)
$$ \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} h^m(x) = h^m(x+z) $$
También escribí $P_n(x)$ como la forma cerrada se muestra a continuación mediante el uso de Robert la respuesta israelí.
$$P_n(x)=\frac{n!}{2 \pi i}\int_0^{2 \pi i} e^{nz}\left(\dfrac{x+\tan(e^{-z})}{1-x \tan(e^{-z})}\right)^m dz$$
No sé siguiente paso cómo encontrar si alguna ortogonal relación existe entre los polinomios o no. Quizá segundo orden de la ecuación diferencial se puede encontrar mediante el uso de las relaciones anteriores. Gracias por los consejos.
