¿Qué es la
$$\large 7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}} \pmod{100}$$
No soy mucho de teorías numéricas y vi esto mencionado en internet en alguna parte. Debería poder hacerse a mano.
¿por qué cambiaste al mod 4? Estabas calculando en mod 100 y luego cambias a mod 4. ¿Cómo puedes hacer eso?
@kiwani Queremos encontrar $7^a \pmod{100}$ . En la primera ecuación he demostrado que $7^4\equiv 1\pmod{100}$ . Significa que las potencias de 7 mod 100 siguen un ciclo de longitud 4 (el ciclo es 7, 49, 43, 1). Por tanto, para hallar la solución, basta con encontrar en qué elemento de este ciclo acabaremos. El ciclo es de longitud 4, así que evalúo el exponente del enunciado original mod 4. Por eso el enunciado original tiene 7 sietes, y el enunciado $\pmod4$ declaración sólo tiene 6.
Un cálculo manual rápido da $$\begin{align} 7^1 &\equiv 7 \pmod{100} \\ 7^2 &\equiv 49 \pmod{100} \\ 7^3 &\equiv 43 \pmod{100} \\ 7^4 &\equiv 1 \pmod{100} \end{align}$$ Así que se reduce al problema de calcular el valor de $7^{7^{7^{7^{7^7}}}} \pmod 4$ . Y $7^2 \equiv 1 \pmod 4$ por lo que se reduce al problema de calcular $7^{7^{7^{7^7}}} \pmod 2$ ... y esto es fácil, es impar, por lo que es congruente con $1$ modulo $2$ .
Trabajando hacia atrás:
$$7^{7^{7^{7^{7^7}}}} \equiv 7^1 \equiv 3 \pmod{4}\quad \Rightarrow\quad 7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}} \equiv 7^3 \equiv 43 \pmod{100}$$
Leyendo las otras respuestas, me doy cuenta de que este es un camino más largo de lo necesario, pero da un enfoque más general para cuando las cosas no son tan convenientes como $7^4\equiv 1\bmod 100$ .
Obsérvese que, para cualquier número entero $a$ que es relativamente primo de $100$ tenemos $$a^{40}\equiv 1\bmod 100$$ porque $\varphi(100)=40$ y, en consecuencia $$a^m\equiv a^n\bmod 100$$ siempre que $m\equiv n\bmod 40$ . Por lo tanto, tenemos que encontrar $7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}$ modulo $40$ . Por el teorema chino del resto, equivale a saber cuál es el módulo de $8$ y modulo $5$ .
Módulo $8$ tenemos $7\equiv -1\bmod 8$ y $-1$ a una potencia impar va a ser $-1$ por lo que vemos que $$7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}\equiv (-1)^{7^{7^{7^{7^{7}}}}} \equiv -1\equiv 7\bmod 8.$$ Módulo $5$ tenemos $7^4\equiv 1\bmod 5$ (de nuevo por el teorema de Euler), por lo que necesitamos saber $7^{7^{7^{7^{7}}}}\bmod 4$ . Pero $7\equiv -1\bmod 4$ y $7^{7^{7^{7}}}$ es impar, de modo que $7^{7^{7^{7^{7}}}}\equiv -1\equiv 3\bmod 4$ de modo que $$7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}\equiv 7^3\equiv 343\equiv 3\bmod 5.$$ Aplicando el teorema chino del resto, concluimos que $$7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}\equiv 23\bmod 40,$$ y por lo tanto $$7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}}\equiv 7^{23}\bmod 100.$$ Esto se puede resolver utilizando de nuevo el teorema chino del resto para hallar $7^{23}\bmod 4$ y $7^{23}\bmod 25$ .
Utilizando la función Carmichael( artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Carmichael_function ) podemos reducir el exponente de $40$ a $20$
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Probablemente obvio, pero quieres decir $7^{(7^7)}$ etc., bien, no $(7^7)^7$ ?
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@AndreasCaranti Sí
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wolframalpha.com/input/
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@ZevChonoles No texifiqué el título a propósito, porque así ocupa mucho espacio en la página principal.
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@Lord_Farin: Me doy cuenta, pero creo que hay ocasiones en las que es mejor tener un título con el formato adecuado, aunque ocupe más espacio. Claro que no es tan importante, no voy a discutir este caso.