Comparando $\sqrt{1001}+\sqrt{999}\ , \ 2\sqrt{1000}$

Question

Sin el uso de una calculadora, ¿cómo podemos saber cuáles de ellas son más grandes (mayor en valor numérico)?

$$\sqrt{1001}+\sqrt{999}\ , \ 2\sqrt{1000}$$

Uso de la calculadora puedo ver que la primera es 63.2455453 y la segunda es 63.2455532, pero podemos decir sin tocar nuestras calculadoras?

Answer 1

$$\frac{1}{\sqrt{1000}+\sqrt{1001}}<\frac{1}{\sqrt{1000}+\sqrt{999}}$$

$$\implica \sqrt{1001}-\sqrt{1000}<\sqrt{1000}-\sqrt{999}$$

$$\implica \sqrt{1001}+\sqrt{999}<2\sqrt{1000}$$

Answer 2

Esto es una exageración de la solución, pero esta es una aplicación inmediata de Cauchy-Schwarz:

$$\left( 1 \cdot \sqrt{1001}+1 \cdot\sqrt{999}\right)^2 \leq (1+1)(1001+999)=4000\,.$$

Answer 3

Se puede decir sin cálculo si usted puede visualizar la gráfica de la raíz cuadrada de la función; específicamente, usted necesita saber que la gráfica es cóncava (es decir, se abre hacia abajo). Imagine la parte de la gráfica de $ $ y=\sqrt x$ donde $x$ es de $999$ $1001$. $\sqrt{1000}$ es el $$y-coordenada del punto en la gráfica directamente por encima del punto medio, $1000$, de ese intervalo. $\frac12(\sqrt{999}+\sqrt{1001})$ es el promedio de los $$y-coordenadas de los extremos de este segmento de la gráfica, por lo que es el $$y-coordenada del punto que se encuentra directamente por encima de $x=1000$ en el acorde de la gráfica uniendo los dos extremos. La concavidad de la gráfica muestra que el acorde se encuentra por debajo del gráfico. Por lo que $\frac12(\sqrt{999}+\sqrt{1001})<\sqrt{1000}$. Multiplicar por $2$ para obtener los números en su pregunta.

Answer 4

A partir de la desigualdad de Jensen, la media de la raíz cuadrada es menor que la raíz cuadrada de la media, a menos que los números son iguales. Esto es cierto por más de dos números.