Por qué los miembros de $\mathbb R$ serán determinados subconjuntos de a $\mathbb Q$?

Question

$\mathbb{R}$ es real en los números de conjunto, $\mathbb{Q}$ denota el conjunto de los números racionales.

Esta es la cita de Rudin del análisis matemático libro página 17 acerca de Dedekind' s de la construcción.

Por qué los miembros de $\mathbb{R}$ serán determinados subconjuntos de a $\mathbb{Q}$?

Hay dos niveles de confuso, es que en las Matemáticas, la otra es que esto de las frases en inglés, o la expresión de este hecho.

Tal vez me gustaría comprender como este: los miembros de $\mathbb{R}$ son algunas cosa se decidió por unos determinados subconjuntos de de $\mathbb{Q}$.

A primera vista, parece que los miembros de $\mathbb{R}$ son iguales a algunos subconjuntos de a $\mathbb{Q}$. Pero el subconjunto es $\sqrt{2}$ correspoinding ? Esto tal vez no sea tan evidente. IMO

Como @Hagen von Eitzen la respuesta mencionado, significa que $\mathbb{Q}$ se obtiene a partir de Integers. Y este es sólo uno de la construcción, estoy de acuerdo.

Eso es obvio.

Y el mismo a $\mathbb{C}$, Complex número es un par de números reales, podemos aceptar el hecho de quikly.

Pero si usted dice,

$\mathbb{C}$ es de unos determinados subconjuntos de a $\mathbb{R}$

$\mathbb{C}$ es de unos determinados subconjuntos de a $\mathbb{Q}$

$\mathbb{C}$ es de unos determinados subconjuntos de a $\mathbb{Z}$

También habrá algunas confusiones a primera vista, en mi punto de vista.

@Robert Israel 's respuesta es más por el hecho de lo Real Número.

Answer 1

Hay muchas maneras de definir a los números reales, que al final resultan ser equivalentes. No hay ningún punto en discutir sobre qué son las "reales" de los números reales: todo lo que importa es lo que puedes hacer con ellos.

Answer 2

Por la misma razón que racionales "son" pares de enteros (o sí?). Es sólo una construcción. Si usted desea comunicarse con la noción de "número real" a alguien que sólo sabe los números racionales, que en términos simples se trata de decir que los números reales se obtienen mediante la adición de objetos "entre" racionales. Así que un número real se caracteriza por cómo está entre racionales (y si $xy$ están entre los mismos racionales, a continuación,$x=y$). Sin embargo, no se puede decir que un número real es especificado por ser entre dos específica racionales (después de todo también hay infinitamente muchos racionales entre estos dos racionales). En lugar de tener que referirse a todos los racionales; se dividen en los racionales mayor que su número real y los más pequeños (y no es un racional igual a su número real si es que en realidad racional). Dedekind recortes es una formalización de esta idea.

Answer 3

Los números reales que corresponden a ciertos subconjuntos de los números racionales. Si usted toma los números reales como dado, y considerar, para cualquier número real $r$ el conjunto $D_r:=\{x\in\mathbb Q: x < r\}$, usted encontrará que caracteriza de forma exclusiva el número real, es decir, $r=s\iff D_r=D_s$. Por lo tanto, puede especificar un número real $r$ sólo dando el conjunto $D_r$. Sin embargo, desde la $D_r$ sólo contiene números racionales, usted no necesita tomar los números reales dado a hablar de esos conjuntos, siempre que se encuentre un modo de definir los conjuntos sin hablar de los números reales. Eso es exactamente lo que el Dedekind cortes son acerca de: la Definición establece que excepcionalmente especificar un número real, sin necesidad de utilizar los números reales. Después de haber hecho eso, sólo puede declarar que cada conjunto se define un número real. Por supuesto, usted, a continuación, también es necesario explicar que establece corresponden por ejemplo, para el número real $a+b$ si usted ha dado los conjuntos de los números reales $a$$b$, y así sucesivamente.

La ventaja de hacerlo es que si han demostrado que los números racionales son un concepto de sonido, a continuación, usted también sabe que los subconjuntos de los números racionales es un sonido concepto. Puesto que cada conjunto corresponde a un real, esto significa que también reales son un concepto de sonido (porque los subconjuntos de los números racionales es un modelo de los números reales).

Tenga en cuenta que Dedekind recortes no son la única forma de definir los números reales; hay también la definición que utiliza secuencias de Cauchy, por ejemplo. Así que ahora son números reales determinados subconjuntos de los números racionales, o de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy? Bueno, que corresponden a ambos, y ambos dan lugar a un mismo concepto, porque no hay, de nuevo, una correspondencia entre las clases de equivalencia de secuencias de Cauchy y Dedekind cortes, como para cada uno de Dedekind de corte existe una equivalencia clase de secuencias de Cauchy, y viceversa.

Answer 4

Se dice que ciertos subconjuntos de a $\mathbb{Q}$. No dicen que ciertos elementos de la $\mathbb{Q}$. Si usted tiene un conjunto de Una:={1, 3, 7, 14}, a continuación, algunos ciertos subconjuntos de a son {1, 3}, {1}, y {7, 1, 14}. Pero, ninguno de esos son elementos de A. Sólo 1, 3, 7, y 14 son elementos de A.

Por "ciertos subconjuntos de" me siento seguro al decir que Rudin no significa que el conjunto total $\mathbb{Q}$, pero subconjuntos específicos de $\mathbb{Q}$.