Tengo que resolver el siguiente problema: encontrar la matriz de $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ tal forma que: $$A^2+A=I$$ and $\det(A)=1$. Cómo muchas de estas matrices se pueden encontrar cuando se $n$? Gracias de antemano.
Respuestas
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Deje que los autovalores de a $A$ $\{e_i\}$ y deje $P$ ser una transformación de similitud que diagonalizes $A$. A continuación, $P$ también diagonalizes $A^2$ y la ecuación se convierte en $$ \forall i: e_i^2 + e_i = 1 $$
Puesto que hay dos raíces reales de la ecuación, hay $2^n$ candidatos para $A$, antes de imponer que el determinante es uno.
Cuando imponemos que la diagonal es uno, vemos que los valores propios tienen que venir en pares $$ e_i = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}. e_{i'} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}. $$ y que debe haber un número par de estas parejas. Así que no hay tal $A$ existe, a menos que $N=4k$$k\in\Bbb{Z}^+$. Para un dado tal $N$ hay $$ \binom{N}{N/2} $$ posible diagonal determinante de una $N\times N$ matrices satisface la ecuación.
Sin embargo, si $A$ satisface la ecuación, y luego lo hace cualquier parecido de la matriz $$ p^{-1}AP $$ así que mientras a $N=4k$ hay un continuo de soluciones para $A$.
Jherico
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El hecho de $A^2 + A = I$, significa que $X^2 + X -1$ es un aniquilador polinomio de $A$.
El polinomio mínimo de a$A$, lo que divide el polinomio. Así, todos los autovalores de a $A$ están entre las raíces de $X^2 + X - 1$, los cuales son
$$\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$$
Dado que el determinante es el producto de todos los valores propios (con multiplicidad) se deduce que ambos tienen la misma multiplicidad y esta multiplicidad es aún.
Ya que la suma de todas las multiplicidades es la dimensión, se deduce que la dimensión debe ser divisible por $4$.
Esta condición es suficiente. Una matriz tiene esta propiedad si y sólo es similar a una matriz diagonal con la mitad de la diagonal entradas de $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ y el otro $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
La matriz es diagonalisable como mínimo polinomio sólo tiene distintas raíces.
SeanC
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Tenga en cuenta que una vez que usted tiene una matriz que satisface $A^2+A=I$, usted tiene infinidad muchos, ya que para cada matriz invertible $P$ tenemos $$ (P^{-1}AP)^2+(P^{-1}AP)=I\qquad\text{y}\qquad \det(P^{-1}AP)=1 $$ Ahora, si $4\mid N$, a continuación, elija la matriz $$ A=diag(\phi,-1-\phi,\ldots,\phi,-1-\phi) $$ donde $\phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Desde $\phi^2+\phi=1$,$A^2+A=I$. Además, $\det A=(\phi(-1-\phi))^{N/2}=(-1)^{N/2}=1$ porque $4\mid N$.
Supongamos ahora que Si $4\nmid N$. Desde $f(A)=O$ $f(x)=x^2+x-1$ y desde $f(x)$ es simple por encima de $\mathbb{R}$ se sigue que $A$ es similar a una matriz diagonal $D$ que ha $\phi$ $-1-\phi$ a lo largo de su diagonal principal. Pero a menos $4\mid N$, obtenemos que $\det A=\det D\neq 1$.
Katie Adams
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Considerar la Forma Canónica de Jordan de a $A$; es decir, $A = PJP^{-1}$ para algunos es invertible $P$ y el bloque diagonal de la matriz $J$ cuyos bloques están en diagonal o Jordan (en la misma entrada de la diagonal, ha $1$s en la diagonal por encima de la diagonal principal, y $0$s en otros lugares).
Entonces, la ecuación se reduce a $J^2 + J = I$. Buscando en la diagonal entradas en ambos lados, esto se reduce a la solución de $r^2 + r = 1$, que tiene soluciones de $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. En otras palabras, $J$ ha diagonal entradas se $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Sin embargo, queremos que $|A| = 1$, lo que equivale a $|J| = 1$. Esto sólo es posible si $n$ es incluso y $J$ tiene igual número de $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ en su diagonal, debido a $(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})(\frac{-1 -\sqrt{5}}{2}) = -1$ ni positiva de poder integral de $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ equivale a $\pm 1$.
Como un resumen, que no hay soluciones al $n$ no es un múltiplo de a $4$. De lo contrario, cuando se $n$ no es un múltiplo de a $4$, hay una infinidad de soluciones. Para ilustrar esto, vamos a $J$ ser diagonal con igual e incluso el número de $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ en su diagonal. Dejando $P$ variar (como hay infinitamente muchos no invertible matrices que no conmuta con $J$) se dan infinidad de posibilidades para $A$ al $n$ es un múltiplo de a $4$.
