Hay tres aproximadamente independiente de las grandes ideas por aquí.
La primera gran idea es la de tratar de entender el comportamiento de $x^2$ cerca del punto de $x=3$. Hay un número de diferentes rutas de allí, y un número de diferentes formas de escribir una declaración precisa. La que voy a utilizar es tener en cuenta la exacta representación
$$ x^2 = 9 + (x+3) (x-3) $$
y el aproximado de representación
$$ x^2 \approx 9 + 6 (x-3) $$
El aspecto más relevante que vamos a utilizar para la prueba de ello es que el valor en $3$ $9$ . Predomina la descripción de cómo la función varía cerca de $3$ es que el tamaño relativo de $x-3$ varía dramáticamente, sino $x+3$ se encuentra cerca de $6$ sin mucho error relativo en que la aproximación.
Así que, como $x \to 3$, la convergencia ocurre debido a que el $x-3$ factor se desvanece, mientras que el $x+3$ factor ensucia cerca de $6$, en lugar de hacer algo (como divergentes a $+\infty$) para contrarrestar la fuga de $x-3$.
Por cierto, una vez que esta prueba de velocidad, sería un ejercicio útil para intentar establecer un diferentes pruebas basadas en la representación
$$ x^2 = 9 + 6(x-3) + (x-3)^2 $$
La segunda gran idea es simplemente la mecánica de cómo $\epsilon-\delta$ pruebas de trabajo y lo que expresan. De la OMI, el principal obstáculo aquí es simplemente la adaptación a la necesaria estructura de pensamiento.
Sin embargo, una idea clave que vamos a utilizar es que si algún valor de $\delta$ fuerzas "suficientemente bueno" aproximaciones,$\delta$, incluso más pequeños se asegurará de que sus aproximaciones son todavía lo suficientemente bueno.
La tercera gran idea es la de los métodos de traducción de la intuición a la aritmética. Recordar las ideas principales fueron que $x-3$ desvanece como $x \to 3$, pero $x+3$ no crecen. El tamaño de la $x-3$ parte es controlado directamente por $\delta$, de modo que lo que nos está faltando es una técnica para expresar ese $x+3$ no está creciendo de gran tamaño.
La técnica más habitual es escoger sólo algunos de los grandes límite superior en $x+3$ -$100$, y encontrar una manera de recoger $\delta$ asegurar $|x+3| < 100$. Por ejemplo, insistiendo en que $\delta < 10$ es lo suficientemente bueno
Un poco más fácil sería hacerlo al revés: recogida, dicen, $\delta < 5$ primero, y luego encontrar algunos límite superior a lo que el valor de $x+3$ posiblemente puede alcanzar. En este caso, $|x-3| < 5$ implica $|x+3| < 8$.
Así que si siempre debemos tener cuidado para asegurarse de que $\delta \leq 5$, entonces podemos invocar el enlazado $|x+3| < 10$ cuando queramos.
La sorpresa de la cuarta idea! Esta idea no es un requisito previo para la comprensión, pero es uno que a menudo no recibe bien-insistió, y la gente a menudo hacen que los problemas sean mucho más difícil de lo necesario porque no acababa de conseguir esta idea. Por lo tanto, sentí que debía mencionarlo.
Observe cómo suelto yo estaba con mi límites en la sección anterior. $\delta < 10$ nos dice algo más que meramente $|x+3| < 100$. Y $\delta < 5$ era suficiente para llegar a $|x+3| < 8$, así que ¿por qué he de decir $|x+3| < 10$?
El punto es que usted no necesita realmente muy buena límites a todos, el único hecho importante acerca de nuestra obligado en $|x+3|$ es que no crecen a $+\infty$. Las diferencias entre $100$, $10$, $8$, $7$, o, incluso, $6.0001$ son completamente insignificante cuando se compara con lo que realmente se necesita para mostrar.
Cuando, literalmente, cualquier cosa va a hacer, el mejor enfoque es hacer algo que es rápido, simple, y fácil de trabajar con. No te molestes en tratar de hacer un análisis más profundo para buscar la "mejor" de los límites a menos que usted está trabajando en un problema cuando tales cosas son realmente útiles.
Si usted se siente incómodo con cualquiera de las tres ideas que, luego de la general de la prueba es probable que usted se siente incómodo, no importa cuán cómodo se siente con las otras dos partes, mi consejo es tratar de definir con precisión qué aspecto del problema hace que uno se sienta incómodo
