¿Cuáles son las componentes irreducibles de de $V(xy-z^3,xz-y^3)$$\mathbb{A}^3_K$?

Question

¿Cuáles son los irreductible de los componentes del conjunto algebraico $V(xy-z^3,xz-y^3)$$\mathbb{A}^3_K$? Aquí voy a dejar que las $K$ ser un algebraicamente cerrado conjunto.

Normalmente, lo que hago es tomar las ecuaciones a la determinación de un conjunto algebraico $V(I)$, y por lo general uno de ellos los factores de $V(I)$ se descompone como $V(J_1)\cup V(J_2)\cup\cdots$ o algo así. Después de romper las cosas lo suficiente, puedo encontrar finalmente que $K[x,y,z]/J_i$ es un intergral de dominio, por lo $J_i$ es primo, y $V(J_i)$ es irreductible.

Sin embargo, no veo ninguna manera obvia para romper $V(xy-z^3,xz-y^3)$ hacia abajo, como una unión de conjuntos más pequeños, puesto que ninguno de los polinomios factor. Creo $K[x,y,z]/(xy-z^3,xz-y^3)\cong K[x]\oplus \langle y,z\rangle$ debido a la aparición de $xy$ o $xz$ ser reemplazado con una potencia de $z^3$ o $y^3$, pero no estoy seguro de si eso ayuda.

Answer 1

Deje $(x,y,z) \in V(xy-z^3,xz-y^3)$. Dos casos:

$1$. $x=0$. A continuación,$y=z=0$.

$2$. $x\ne 0$. A continuación,$y^4 = z^4$, lo $z = \omega \cdot y$ donde $\omega^4 = 1$. Si $y=0$$z=0$. Si $y \ne 0$ $z \ne 0$ y tenemos $(x,y,z) = (\omega^3 y^2, y, \omega y)$.

Por lo tanto, tenemos uno de los componentes de la línea de $y=z=0$, y para cada una de las $\omega$ un cuarto de raíz de $1$ tenemos un componente isomorfo a $\mathbb{A}^1$ $\{ (\omega^3 t^2, t, \omega t )\ | \ t \in k \}$

Answer 2

Si usted toma las dos relaciones de $xy-z^3$ $xz-y^3$ y añadirlos juntos, usted puede volver a escribir su suma como $x(y+z)-(z^3 + y^3) = z^2(y+z)(x-z^2+y)$, después de usar el hecho de que $xy = z^3$. Como consecuencia, podemos escribir $V(xy-z^3, xz-y^3)$ $$ V(xy-z^3,xz-y^3,y+z) \cup V(xy-z^3, xz-y^3, z^2) \cup V(xy-z^3, xz-y^3, x-z^2+y) $$ Ahora cada uno de estos 3 conjuntos algebraicos deberían ser más fáciles de descomponer - voy a trabajar fuera el de la izquierda aquí.

\begin{align*} V(xy-z^3, xz-y^3, y+z) &= V(xy-(-y)^3, x(-y)-y^3, y+z)\\ &=V(xy+y^3, y+z)\\ &= V(x+y^2, y+z) \cup V(y,y+z) = V(x+y^2,y+z) \cup V(y,z). \end{align*} Sin embargo, tanto en $K[x,y,z]/(x+y^2,y+z) \simeq K[y]$ $K[x,y,z] / (y,z) \simeq K[x]$ son parte integral de los dominios, por lo tanto $V(x+y^2,y+z)$ $V(y,z)$ son irreductibles. Para llegar al otro irreductible de los componentes, debemos utilizar un procedimiento similar para romper $V(xy-z^3,xz-y^4,z^2)$ $V(xy-z^3,xz-y^3,x-z^2+y)$ en irreducibles.

Answer 3

Este es complemenent msteve excelente respuesta.

Después de su procedimiento yould potencialmente $3 \times 2=6$ irreductible componentes. Sin embargo, $(y,z)$ se muestra en todos ellos, por lo que tenemos sólo $4$, y, de hecho, todos estos son.

Este puede ser calculado en Macaulay2 como sigue:

i1 : R = QQ[x,y,z]
o1 = R
o1 : PolynomialRing
i2 : I = ideal(x*y-z^3, x*z-y^3     
               3           3
o2 = ideal (- z  + x*y, - y  + x*z)
o2 : Ideal of R

i3 : decompose I

              2    2                                         2
o3 = {ideal (y  + z , y*z + x), ideal (z, y), ideal (y + z, z  + x), ideal (- y
 ---------------------------------------------------------------------------
         2
 + z, - z  + x)}

o3 : List

(Me he quitado algunos de los resultados para mejorar la legibilidad).

Vemos que esta respuesta está de acuerdo con msteve la mano de los cálculos.

EDITAR debería ser más importante de lo que mi equipo me dice! Por supuesto, $\mathbb Q$ no es algebraicamente cerrado, por lo que no vemos todos los irreducibles de los componentes. Un rápido vistazo a $(y^2+z^2,yz+x)$ revela que esto no es irreducible ($y^2+z^2=(y+zi)(y-zi)$), por lo que en realidad se $5$ componentes!

Ejecutar el cálculo de nuevo, pero esta vez sobre $\mathbb Z/101$, da una respuesta diferente:

i8 : decompose I

                             2                                    2
o8 = {ideal (- 10y + z, - 10z  + x), ideal (z, y), ideal (y + z, z  + x), ideal
     ---------------------------------------------------------------------------
                  2                          2
     (- y + z, - z  + x), ideal (10y + z, 10z  + x)}

o8 : List