Pregunta sobre el movimiento Browniano

Question

Deje $\{B(t), t \in \mathbb{R} \}$ ser de dos caras el movimiento browniano se define como $$ B(t) = \begin{cases} B_1(t),\quad t >0 \\ 0, \quad t = 0 \\ B_2(-t), \quad t < 0 \end{casos} $$ donde $B_1$ $B_2$ son independientes estándar Browniano movimientos en $\mathbb{R}^+$.

Fix $x_0 > 0$ y deje $x_k = B(x_{k-1})$$k=1,2,\dots$. ¿Qué podemos decir acerca de $\lim_{k\rightarrow \infty} x_k$?

Si converge, entonces me imagino que el límite tendría que ser a$0$.s., desde el límite de $y$ satisfacer $B(y) = y$.s.. Pero no sé cómo mostrar esta secuencia converge. Alguna idea? (esta no es la tarea, sólo un problema de mi amigo y pensé)

Answer 1

Para cualquier fija $x_0$, hay probabilidad positiva de que la secuencia a partir de $x_0$ no converge. Para ver por qué, tomar, digamos, $x_0 = 15$. Hay probabilidad positiva de que $50 < B_t < 60$$10 < t < 15$$10 < B_t < 20$$50 < t < 60$. En este caso la secuencia oscila entre los intervalos de $(10,20)$$(50,60)$.

Por otro lado, casi no hay duda de que existen infinidad de $t$ en cualquier intervalo de $(0,\epsilon)$$B_t = t$, por lo que incluso cuando la secuencia que hace converger el límite no necesita ser 0. Para una prueba, tenga en cuenta que $P(B_t > t) = P(N > \sqrt{t}) \ge 1/4$ suficientemente pequeño $t$ (aquí se $N$ es una variable aleatoria normal estándar). Así que para cualquier secuencia $t_n$ disminuyendo a$0$,$P(B_{t_n} > t_n \text{ i.o.}) \ge 1/4$; por el Blumenthal 0-1 ley, $P(B_{t_n} > t_n \text{ i.o.}) =1$. Sin embargo, también tenemos $P(B_{t_n} < t_n) \ge P(B_{t_n} < 0) = 1/2$, por lo que por un argumento similar $P(B_{t_n} < t_n \text{ i.o.}) =1$. El resultado de la siguiente manera por la continuidad.

Uno podría preguntar algunas otras preguntas:

1. Para una fija $x_0$, ¿cuál es la probabilidad de que la secuencia a partir de $x_0$ converge? Mi conjetura es $0$ pero no veo una prueba de improviso.

2. Considerar la (aleatorio) set $C$ $x$ de manera tal que la secuencia a partir de $x$ converge. ¿Cuál es la medida de Lebesgue de $C$? Mi conjetura es que el$m(C) = 0$.s. pero de nuevo sin prueba.

Edit: Otro dato interesante es que casi seguramente, para cada punto de partida $x_0$, la secuencia de $x_k$ es acotado, y por lo tanto tiene un convergentes larga. Deje $M_r = \sup_{t \in [-r,r]} |B_t|$. Por la fuerte ley de los grandes números, $B_t/t \to 0$.s. como $t \to \pm \infty$, y de ello se sigue que $M_r / r \to 0$.s. como $r \to \infty$. En particular, una.s. existe $r > x_0$$M_r < r$, y, a continuación, $|x_k| \le M_r$ todos los $k \ge 1$.