Cómo encontrar un medibles pero no integrable función o una positiva función integrable?

Question

Para un intervalo arbitrario $I$, ¿cómo podemos encontrar un resultado positivo en $I$ integrable función? Y ¿cómo construir un medibles pero no integrable función. Si no todas las funciones medibles son integrables, ¿cuál es la mejor manera de determinar si una función es la L-Integrable?

thx de antemano

Answer 1

Probablemente usted considere la posibilidad de la medida de lebesgue en el intervalo de $I \subseteq \mathbb{R}$...? En este caso:

1. Tomar cualquier positiva (lebesgue) función integrable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y restringir a $I$, entonces es una positiva integración de la función en $I$. Por ejemplo, $$f(x) := \frac{1}{x^2+1} \qquad (x \in I)$ $ hace el trabajo.
2. Deje $x_0 \in I$ tal que $B(x_0,\varepsilon) \subseteq I$ algunos $\varepsilon>0$. Definir $$g(x) := \begin{cases} \frac{1}{x-x_0} & x \in B(x_0,\varepsilon) \backslash \{x_0\} \\ 0 & x \notin B(x_0,\varepsilon) \vee x=x_0 \end{cases}$$ $g$ es medible, pero no integrable.
3. Una función medible $f$ es integrable iff existe una positiva función integrable $g$ tal que $$\forall x \in I: |f(x)| \leq g(x)$$ This means that you should try to find an integrable upper bound of $f$. En particular, es importante saber algunas funciones integrables, por ejemplo
   • $x \mapsto \frac{1}{x^\alpha} \in L^1([a,\infty))$ para todos los $a>0$, $\alpha>1$ y $x \mapsto \frac{1}{x^\alpha} \in L^1([0,a])$ para todos los $a>0$, $\alpha<1$
   • $x \mapsto e^{-x} \in L^1([a,\infty))$ todos los $a\in \Bbb R$, e $x \mapsto p(x) \cdot e^{-x^2} \in L^1(\mathbb{R})$ por un polinomio arbitrario $p$
   • $\ldots$