Covariante y contravariante de vectores

Question

La lectura de Weinberg Gravitación y Cosmología, me llegó a través de la sentencia (pág.115, de la ecuación anterior (4.11.8))

La derivada parcial operador $\partial/\partial x^\mu$ es un vector covariante, o en otras palabras, una 1-forma, [...]

Ahora, una sección de $T^*M$ se llama un covector campo o una 1-forma. Elementos de $T^*_pM$ se llama tangente covectors. En los libros sobre geometría diferencial he leído que la tangente COvectors son llamados vectores covariantes. ¿Cómo tengo que entender la cita de Weinberg del libro?

Answer 1

OP es formalmente correcta que $$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}~\in~ \Gamma(TM|_{U}) $$ is a vector field (defined in a local coordinate neighborhood $U$), y no una sola forma. Lo Weinberg significa simplemente por casualidad diciendo que

La derivada parcial operador $\partial/\partial x^\mu$ es un vector covariante, o en otras palabras, una 1-forma,[...]

es sólo que

La base local de campos vectoriales
$$\tag{1} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} ~=~\frac{\partial y^{\nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial y^{\nu}}$$ se transforma de la misma manera como los componentes $$\tag{2} \eta^{(x)}_{\mu}~=~\frac{\partial y^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\eta^{(y)}_{\nu} $$ de una 1-forma/covector [o una covariante tensor (0,1)] $$\eta~=~\eta^{(x)}_{\mu} dx^{\mu} ~=~\eta^{(y)}_{\nu} dy^{\nu}$$
en virtud de un local de transformación de coordenadas $x^{\mu} ~\to~ y^{\nu}=y^{\nu}(x)$.

El punto es que la (tradicional) físico, a menudo piensa de una $(r,s)$ tensor $$T~=~ \frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}} ~T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s} ~ dx^{\nu_1}\otimes \cdots \otimes dx^{\nu_s}$$ simplemente en términos de sus componentes $T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}$, y, en particular, la transformación de la propiedad de los mismos, bajo transformaciones de coordenadas. Local en base a los elementos, tales como, por ejemplo, $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ $dx^{\nu}$ a menudo son vistos simplemente como la contabilidad de los dispositivos.

En conclusión, Ref. 1 no es probablemente el mejor libro de texto para aprender geometría diferencial . Por ejemplo, ya en eq. (4.11.12) en la siguiente página 116 Weinberg afirma que el hecho de que el exterior derivado de plazas a cero, $d^2=0$,

es conocido como Poincaré del Lexema.

Este es sin duda no es correcto, cf. Wikipedia: La identidad de $d^2=0$ significa que las formas exactas están cerradas, mientras que la de Poincaré del Lema de los estados que lo opuesto es localmente: formas cerradas son localmente exacto (excepto el cero-formas).

Referencias:

1. S. Weinberg, Gravitación y Cosmología, 1972.

Answer 2

Deje $X$ ser un campo de vectores en un semi-Riemann colector $(M,g)$, en coordenadas locales, los campos vectoriales $\partial_\mu = \partial/\partial x^\mu$ el rendimiento de una base para el espacio de la tangente en cada punto en el colector. Esto significa que si $X\in TM$ es un campo vectorial, entonces se puede escribir como una combinación lineal de las coordenadas de la base campos vectoriales $\partial_\mu$ como sigue: \begin{align} X = X^\mu\partial_\mu \end{align} Los componentes de $X^\mu$ define esta relación se llama la contravariante componentes del vector de campo. Es entonces convencionales para definir covariante componentes de este vector de campo por "reducir" su índice vectorial mediante el uso de componentes de la métrica $g$; \begin{align} X_\mu = g_{\mu\nu} X^\nu \end{align} Una vez que hemos hecho esta definición, nos damos cuenta de que si podemos también definir coordinar base campos vectoriales $\partial^\mu$ haber elevado los índices de la siguiente manera utilizando los componentes $g^{\mu\nu}$ de la inversa de la métrica: \begin{align} \partial^\mu = g^{\mu\nu} \partial_\nu \end{align} entonces el vector original de campo $X$ se puede escribir como una combinación lineal de sus componentes covariantes y la coordenada base campos vectoriales con aumento de los índices; \begin{align} X = X_\mu \partial^\mu \end{align} Ahora, la pregunta es, ¿qué tiene esto que ver con el 1-formas? Así, dado un semi-Riemann colector $(M,g)$, hay un isomorfismo canónico entre la tangente y la cotangente espacios en un punto dado, la cual, como los físicos, comúnmente se refiere como "elevar y bajar los índices." En las coordenadas de este isomorfismo funciona de la siguiente manera. El uso de las componentes covariantes de un campo de vectores $X$, podemos definir una forma de $\mathbf X$ por $$ \mathbf X = X\mu dx^\mu $$ A continuación, la asignación de $X \mapsto \mathbf X$ de los rendimientos de un isomorfismo entre el $T_pM$ $T_p^*M$ por cada $p\in M$. En otras palabras, las componentes covariantes de $X$ puede ser considerado como precisamente los componentes que su doble 1-formulario de debajo de la tangente-la cotangente del isomorfismo.

Cuando Weinberg dice que $\partial/\partial x^\mu$ es una 1-forma, está siendo un poco floja con la terminología (como es común en la física). Ese objeto es en realidad un campo de vectores, pero es dual a una 1-forma a través de la mencionada isomorfismo.

Answer 3

La manera en que yo entiendo es que él no se está refiriendo a la tangente vectores $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$, pero a diferencia de un operador. Fijate que no uso el plural, él está hablando acerca de un único objeto. Es decir, la 1-forma con valores de operador, que se asigna a cada función a su gradiente. Entonces usted puede formar la cuña del producto con este operador y un $p$-forma de obtener un $(p+1)$, que es el exterior derivada de la original $p$-forma. Esta es la forma en que él define exterior derivados. La cuña del producto es introducido en los párrafos anteriores. Esto parece como una extraña elección de notaciones y definiciones, pero pudo haber sido bastante estándar en el tiempo.

Acerca de Poincaré del Lema (desde Qmecanic mencionado): he visto un número de lugares donde $d^2=0$, para el exterior de derivados, se llama la de Poincaré del lexema, por ejemplo, la referencia, la cual Weinberg da, Flandes, H. "formas Diferenciales con Aplicaciones a las Ciencias Físicas".