1) no Hay ningún algoritmo que puede calcular arbitrariamente el número de dígitos de $\Omega$. Si nos eran, de alguna manera capaz de comprobar si determinadas cadenas de números, compuesto por la primera $n$ $\Omega$'s binarias de expansión, podríamos simplemente la fuerza bruta nuestro camino a través de todos los números con denominadores $2^k,$ $k=1,2,3,\dots$, que nos proporcionara más y más dígitos de $\Omega$ - una contradicción.
Sin embargo, no todo está perdido. En primer lugar, el conjunto de los números racionales menos de $\Omega$ es computably enumerable, de modo que existe un algoritmo que enumera uno a uno. Más directamente, se pueden calcular sucesivamente mejor los límites inferiores por el cálculo de una simple conocida detener los programas y descubrir más de ellos (nunca sabemos cómo de cerca estamos, a pesar de, o de lo contrario podríamos extraer dígitos). Si los extraterrestres nos dan un número de menos de Chaitin es constante, entonces, en teoría, podríamos confirmar que. En la práctica, sin embargo, bien podríamos no tener suficiente tiempo y recursos para comprobar su número si está demasiado cerca del valor real, por lo que no sería seguro (y, por supuesto, se estaría garantizado el fracaso si su número es $>\Omega$).
Segundo, simplemente porque no hay ningún algoritmo calcula un número infinito de dígitos, no significa que no podemos profundamente probar la primera $n$ dígitos para algunos fijos $n$ (y un fortuito elección de la máquina de Turing). Mathworld proporciona dos ejemplos de Chaitin es constante, se calcula para dos TM:
$$\Omega_U= 0.0000001000000100000110\cdots_2$$
$$\Omega_U=0.0001000000010000101001110111000011111010\cdots_2 $$
Para más información sobre estos, tendrás que ver Calude (2002) y Calude, Dinneen (2007). El uso de estos, se puede hacer una comprobación rudimentaria en el extranjero el número de confirmación o disconfirming que está de acuerdo con lo que tenemos. Pero claro, esto es extremadamente limitada y altamente dependiente de la elección de la máquina de Turing.
Tercero, los dígitos de $\Omega$ a través de algoritmos aleatorios, es decir, la primera $n$ dígitos (solo) sólo pueden ser enumerados en, al menos, $n-O(1)$ pasos. Así que podría ser posible investigar la plausibilidad de candidato dígitos a través de aproximaciones de Kolmogorov complejidad u otras pruebas estadísticas. Sin embargo, esto puede requerir un gran número de candidatos de los dígitos con el fin de obtener un indicador útil, posiblemente más de lo que es factible de manera realista el trabajo.
2) Si la respuesta a un problema de matemáticas es "de cualquier uso" se encuentra fuera del ámbito de aplicación de la teoría de la computabilidad. En la medida en que demostrar o refutar una conjetura es intrínsecamente útil, entonces el cálculo de la verdad o falsedad basado en $\Omega$ sería útil. Si una existencia reclamación resultó falsa, se podría detener la búsqueda de cómputo, o si una universalidad reclamación resultó falsa podríamos iniciar la búsqueda de cómputo para un contraejemplo. Precisamente lo que las consecuencias de una hipótesis depende de que el problema en sí, por ejemplo, la hipótesis de Riemann afecta a la distribución de los números primos y la posterior aritmética de los límites de la teoría de números.
Sin embargo, un simple cálculo de este tipo no prestar ninguna pista sobre por qué un problema resulta de la forma en que lo hace. Normalmente en las matemáticas, la famosa problemas no resueltos requieren conjunto de nuevas teorías, perspectivas, o las instrucciones para resolver, pero no lo vamos a conseguir que a partir de un $\Omega$-base de cálculo ya que todo el "razonamiento" no se encuentra en los dígitos, ni la comprobación de los dígitos. Chaitin constante sólo codifica las respuestas, y no el por qué's detrás de ellos.
